题目 已知函数 $f(x)=\ln x-x-1$，$g(x)=xf(x)+\dfrac12x^2+2x$． 问题1 求 $f(x)$ 的单调区间； 答案1 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(0,1)$，单调递减区间为 $(1,+\infty)$ 解析1 函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$，导函数为$$f'(x)=\dfrac1x-1=\dfrac{1-x}{x},$$故当 $0<x<1$ 时，$f'(x)>0$，$f(x)$ 单调递增；当 $x>1$ 时，$f'(x)<0$，$f(x)$ 单调递减；<br/>因此，$f(x)$ 的单调递增区间为 $(0,1)$，单调递减区间为 $(1,+\infty)$． 备注1 问题2 若函数 $g(x)$ 在区间 $(m,m+1)$（$m\in\mathbb Z$）内存在唯一的极值点，求 $m$ 的值． 答案2 $0$ 或 $3$ 解析2 由题可知$$g(x)=x\ln x-\dfrac12x^2+x,$$其导函数为$$g'(x)=\ln x-x+2,$$题意即函数 $g'(x)$ 在 $(m,m+1)$ 内有唯一变号零点，设 $h(x)=g'(x)$，则$$h'(x)=\dfrac{1-x}{x},$$因此，$h(x)$ 在 $(0,1)$ 单调递增，在 $(1,+\infty)$ 单调递减，注意到$$h\left(\dfrac{1}{\mathrm{e}^2}\right)=-\dfrac{1}{\mathrm{e}^2}<0,h(1)=1>0,$$则函数 $h(x)$ 在 $(0,1)$ 内有唯一零点，又$$h(3)=\ln 3-1>0,h(4)=\ln 4-2<0,$$则函数 $h(x)$ 在 $(3,4)$ 内有唯一零点．<br/>综上所述 $m$ 的值为 $0$ 或 $3$． 备注2