题目 已知函数 $f(x)=\dfrac{\ln x+k}{\mathrm{e}^x}$，其中 $k\in\mathbb R$，$\mathrm{e}$ 是自然对数的底数，$f'(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数． 问题1 当 $k=2$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程； 答案1 $x+\mathrm{e}y-3=0$ 解析1 当 $k=2$ 时，有\[f(x)=\dfrac{\ln x+2}{\mathrm{e}^x},\]其导函数为$$f'(x)=\dfrac{\dfrac1x-\ln x-2}{\mathrm{e}^x},$$因此，有$$f(1)=\dfrac{2}{\mathrm{e}},f'(1)=-\dfrac{1}{\mathrm{e}},$$因此曲线 $f(x)$ 在 $(1,f(1))$ 处的切线方程为 $x+\mathrm{e}y-3=0$． 备注1 问题2 若 $f'(1)=0$，试证明：对任意 $x>0,f'(x)<\dfrac{\mathrm{e}^{-2}+1}{x^2+x}$ 恒成立． 答案2 略 解析2 函数 $f(x)$ 的导函数为$$f'(x)=\dfrac{\dfrac1x-\ln x-k}{\mathrm{e}^x},$$结合 $f'(1)=0$，得 $k=1$，题意即证明$$\forall x>0,\dfrac{x+1}{\mathrm{e}^{x}}\cdot\left(-x\ln x-x+1\right)<\mathrm{e}^{-2}+1,$$令 $g(x)=-x\ln x-x+1$，求导得$$g'(x)=-\ln x-2,$$因此 $g(x)$ 在 $\left(0,\mathrm{e}^{-2}\right)$ 单调递增，在 $\left(\mathrm{e}^{-2},+\infty\right)$ 单调递减，故$$ \max\left\{g(x)\right\}=g\left(\mathrm{e}^{-2}\right)=\mathrm{e}^{-2}+1,$$我们熟知当 $x>0$ 时，$ \mathrm{e}^x\geqslant x+1 $，因此$$ \dfrac{x+1}{\mathrm{e}^{x}}\cdot\left(-x\ln x-x+1\right)<\left(-x\ln x-x+1\right)\leqslant\mathrm{e}^{-2}+1.$$原命题得证． 备注2