如图，长方体物体 $E$ 在雨中沿面 $P$（面积为 $S$）的垂直方向作匀速移动，速度为 $v\left( {v > 0} \right)$，雨速沿 $E$ 移动方向的分速度为 $c\left( {c \in {\mathbb {R}}} \right)$．$E$ 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）$P$ 或 $P$ 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与 $\left| {v - c} \right| \times S$ 成正比，比例系数为 $\dfrac{1}{10}$；（2）其他面的淋雨量之和，其值为 $\dfrac{1}{2}$，记 $y$ 为 $E$ 移动过程中的总淋雨量，当移动距离 $d = 100$，面积 $S = \dfrac{3}{2}$ 时．
【难度】
【出处】
2011年高考湖南卷（理）
【标注】
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写出 $y$ 的表达式；标注答案$ y = \dfrac{5}{v}\left( {3|v - c| + 10} \right) $解析由题意知，$E$ 移动时单位时间内的淋雨量为\[\dfrac{3}{20}|v - c| + \dfrac{1}{2},\]故\[ \begin{split}y & = \dfrac{100}{v}\left( {\dfrac{3}{20}|v - c| + \dfrac{1}{2}} \right) \\& = \dfrac{5}{v}\left( {3|v - c| + 10} \right).\end{split} \]
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设 $0 < v \leqslant 10,0 < c \leqslant 5,$ 试根据 $c$ 的不同取值范围，确定移动速度 $v$，使总淋雨量 $y$ 最少．标注答案当 $0 < c \leqslant \dfrac{10}{3}$ 时，${y_{\min }} = 20 - \dfrac{3c}{2}$；
当 $\dfrac{10}{3} < c \leqslant 5$ 时，${y_{\min }} = \dfrac{50}{c}$解析由（1）知，当 $0 < v \leqslant c$ 时，\[ \begin{split}y & = \dfrac{5}{v}\left( {3c - 3v + 10} \right) \\& = \dfrac{{5\left( {3c + 10} \right)}}{v} - 15;\end{split} \]当 $c < v \leqslant 10$ 时，\[ \begin{split}y & = \dfrac{5}{v}\left( {3v - 3c + 10} \right) \\& = \dfrac{{5\left( {10 - 3c} \right)}}{v} + 15.\end{split} \]故\[y = { \begin{cases}\dfrac{{5\left( {3c + 10} \right)}}{v} - 15,&0 < v \leqslant c, \\
\dfrac{{5\left( {10 - 3c} \right)}}{v} + 15,&c < v \leqslant 10. \\
\end{cases} }\]① 当 $0 < c \leqslant \dfrac{10}{3}$ 时，$y$ 是关于 $v$ 的减函数．故当 $v = 10$ 时，\[{y_{\min }} = 20 - \dfrac{3c}{2}.\]② 当 $\dfrac{10}{3} < c \leqslant 5$ 时，
在 $\left(0,c\right]$ 上，$y$ 是关于 $v$ 的减函数；
在 $\left(c,10\right]$ 上，$y$ 是关于 $v$ 的增函数；
故当 $v = c$ 时，\[{y_{\min }} = \dfrac{50}{c}.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
