如图，椭圆的中心为原点 $O$，离心率 $e = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$，一条准线的方程是 $x = 2\sqrt 2 $．
【难度】
【出处】
2011年高考重庆卷（文）
【标注】
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求该椭圆的标准方程；标注答案略解析由 $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$，$\dfrac{{{a^2}}}{c} = 2\sqrt 2 $，解得\[a = 2,c = \sqrt 2 ,{b^2} = {a^2} - {c^2} = 2,\]故椭圆的标准方程为\[\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{2} = 1.\]
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设动点 $P$ 满足：$\overrightarrow {OP} = \overrightarrow {OM} + 2\overrightarrow {ON} $，其中 $M$，$N$ 是椭圆上的点，直线 $OM$ 与 $ON$ 的斜率之积为 $ - \dfrac{1}{2}$，问：是否存在定点 $F$，使得 $\left| {PF} \right|$ 与点 $P$ 到直线 $l : x = 2\sqrt {10} $ 的距离之比为定值？若存在，求 $F$ 的坐标；若不存在，说明理由．标注答案略解析设 $P\left( {x,y} \right)$，$M\left( {{x_1},{y_1}} \right)$，$N\left( {{x_2},{y_2}} \right)$，则由 $\overrightarrow {OP} = \overrightarrow {OM} + 2\overrightarrow {ON} $，得\[\left( {x,y} \right) = \left( {{x_1},{y_1}} \right) + 2\left( {{x_2},{y_2}} \right) = \left( {{x_1} + 2{x_2},{y_1} + 2{y_2}} \right),\]即\[x = {x_1} + 2{x_2},y = {y_1} + 2{y_2}.\]因为点 $M$，$N$ 在椭圆 ${x^2} + 2{y^2} = 4$ 上，所以\[x_1^2 + 2y_1^2 = 4,x_2^2 + 2y_2^2 = 4,\]故\[\begin{split}{x^2} + 2{y^2} & = \left( {x_1^2 + 4x_2^2 + 4{x_1}{x_2}} \right) + 2\left( {y_1^2 + 4y_2^2 + 4{y_1}{y_2}} \right) \\&
= \left( {x_1^2 + 2y_1^2} \right) + 4\left( {x_2^2 + y_2^2} \right) + 4\left( {{x_1}{x_2} + 2{y_1}{y_2}} \right) \\&
= 20 + 4\left( {{x_1}{x_2} + 2{y_1}{y_2}} \right).\end{split}\]设 ${k_{OM}}$，${k_{ON}}$ 分别为直线 $OM$，$ON$ 的斜率，由题设条件知\[{k_{OM}} \cdot {k_{ON}} = \dfrac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = - \dfrac{1}{2},\]因此 ${x_1}{x_2} + 2{y_1}{y_2} = 0$，所以\[{x^2} + 2{y^2} = 20.\]点 $ P $ 是椭圆 $ \dfrac{x^2}{20}+\dfrac{y^2}{10}=1$ 上的点，焦点 $ F\left(\sqrt{10},0\right) $，准线 $l:x=2\sqrt{10} $，离心率为 $ \dfrac{\sqrt2}{2}$
根据椭圆的第二定义，$ \left|PF \right| $ 与点 $ P $ 到直线 $l:x=2\sqrt{10}$ 的距离之比为定值 $ \dfrac{\sqrt2}{2}$．
故存在点 $ F\left(\sqrt{10},0\right)$，满足 $ \left|PF \right| $ 与点 $ P $ 到直线 $l:x=2\sqrt{10}$ 的距离之比为定值．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
