已知抛物线的焦点 $F$ 在 $y$ 轴上，抛物线上一点 $A(a,4)$ 到准线的距离是 $5$，过点 $F$ 的直线与抛物线交于 $M,N$ 两点，过 $M,N$ 两点分别作抛物线的切线，两条切线的交点为 $T$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求抛物线的方程；标注答案$x^2=4y$解析根据题意，该抛物线开口向上，且焦点在 $y$ 轴上，于是可设抛物线方程$$C:x^2=2py,p>0.$$因为抛物线上点 $A(a,4)$ 到准线距离为 $5$，因此 $\dfrac p2=1$，于是可得抛物线方程$$x^2=4y.$$
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求 $\overrightarrow {FT}\cdot\overrightarrow {MN}$；标注答案$0$解析根据题意设 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2),T(x_0,y_0)$，则抛物线 $C$ 在点 $M$ 与点 $N$ 处的切线方程分别为$$\begin{cases} x_1x=2(y+y_1),\\ x_2x=2(y+y_2),\end{cases}$$由于点 $T(x_0,y_0)$ 为上述两条切线的交点，故坐标 $(x_0,y_0)$ 满足上述方程组，所以将上述两方程联立可得$$x_0=\dfrac12(x_1+x_2),$$又由于点 $T$ 关于抛物线 $C$ 的切点弦所在直线的方程为$$x_0x=2(y+y_0),$$即直线 $MN$，而该直线经过点 $F(0,1)$，所以可得$$y_0=-1,$$则点 $T$ 的坐标为 $\left(\dfrac12(x_1+x_2),-1\right)$，于是$$\begin{split} \overrightarrow {TF}\cdot\overrightarrow {MN}&=\left(-\dfrac12(x_1+x_2),2\right)\cdot\left(x_2-x_1,y_2-y_1\right)\\
&=\dfrac12(x_1^2-x_2^2)+2(y_2-y_1)\\
&=0.\end{split}$$ -
求证：$|\overrightarrow {FT}|$ 是 $|\overrightarrow {MF}|$ 与 $|\overrightarrow {NF}|$ 的等比中项．标注答案略解析由于抛物线 $C$ 在点 $M$ 与点 $N$ 处的切线方程分别为$$\begin{cases} x_1x=2(y+y_1),\\ x_2x=2(y+y_2),\end{cases}$$因此切线 $MT$ 与切线 $NT$ 的斜率乘积为$$\dfrac {x_1}{2}\cdot\dfrac{x_2}{2}=\dfrac{x_1x_2}{4},$$又由于$$x_1x_2=-p^2=-4,$$所以 $MT$ 与 $NT$ 的斜率积为 $-1$，故$$MT\perp NT.$$又结合第二问知 $TF\perp MN$，因此 $TF$ 为以 $\angle MTN$ 为直角的 $Rt\triangle ABC$ 斜边 $MN$ 上的高，所以由射影定理知$$|\overrightarrow {TF}|^2 =|\overrightarrow {MF}|\cdot|\overrightarrow {NF}|,$$所以 $|\overrightarrow {TF}|$ 是 $|\overrightarrow {MF}|$ 与 $|\overrightarrow {NF}|$ 的等比中项，证毕．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
