已知数列 $ \left\{a_n\right\} $，$ \left\{b_n\right\} $ 满足 $ b_n=a_{n+1}-a_n $，其中 $ n\in {\mathbb {N^{\ast} }}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
若 $ a_1=1 $，$ b_n=n $，求数列 $ \left\{a_n\right\} $ 的通项公式；标注答案$a_n=\dfrac 12 n^2-\dfrac n2+1$解析根据题意，有$$a_n=a_1+\sum\limits_{k=1}^{n-1}{b_k} =1+\dfrac {n(n-1)}{2}=\dfrac 12 n^2-\dfrac n2+1.$$
-
若 $ b_{n+1}b_{n-1}=b_n\left(n\geqslant 2\right) $，且 $ b_1=1 $，$ b_2=2 $．
① 记 $ c_n=a_{6n-1} \left(n\geqslant 1\right) $，求证：数列 $ \left\{c_n\right\} $ 为等差数列；
② 若数列 $ \left\{\dfrac{a_n}{n}\right\} $ 中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项 $ a_1 $ 应满足的条件．标注答案① 略；② 首项 $a_1$ 应满足的条件是 $a_1\notin\left\{\dfrac 76,\dfrac 43,-\dfrac 13,-\dfrac 16,\dfrac 12\right\}$解析① 因为对任意的 $n\in {\mathbb N^+}$ 有$$b_{n+6}=\dfrac{b+{n+5}}{b_{n+4}}=\dfrac 1{b_{n+3}}=\dfrac{b_{n+1}}{b_{n+2}}=b_n,$$所以$$\begin{split}c_{n+1}-c_n&=a_{6n+5}-a_{6n-1}\\&=b_{6n-1}+b_{6n}+b_{6n+1}+b_{6n+2}+b_{6n+3}+b_{6n+4}\\&=1+2+2+1+\dfrac 12 +\dfrac 12 \\&=7(n\geqslant 1),\end{split}$$所以数列 $\{c_n\}$ 为等差数列．
② 数列 $\{a_n\}$ 由 $6$ 个公差均为 $7$ 的等差数列构成，它们的首项分别为 $a_1$，$a_{1}+1$，$a_1+3$，$a_1+5$，$a_1+6$，$a_1+\dfrac{13}{2}$．
这样划分后，数列 $\left\{\dfrac{a_n}{n}\right\}$ 就可以看做是 $6$ 个数列 $\left\{\dfrac{a_1+7(n-1)}{1+6(n-1)}\right\}$，$\left\{\dfrac{a_1+1+7(n-1)}{2+6(n-1)}\right\}$，$\left\{\dfrac{a_1+3+7(n-1)}{3+6(n-1)}\right\}$，$\left\{\dfrac{a_1+5+7(n-1)}{5+6(n-1)}\right\}$，$\left\{\dfrac{a_1+6+7(n-1)}{5+6(n-1)}\right\}$，$\left\{\dfrac{a_1+\dfrac{13}{2}+7(n-1)}{6+6(n-1)}\right\}$ 组成的，
即 $\left\{\dfrac{7n+(a_1-7)}{6n-5}\right\}$，$\left\{\dfrac{7n+(a_1-6)}{6n-4}\right\}$，$\left\{\dfrac{7n+(a_1-4)}{6n-3}\right\}$，$\left\{\dfrac{7n+(a_1-2)}{6n-2}\right\}$，$\left\{\dfrac{7n+(a_1-1)}{6n-1}\right\}$，$\left\{\dfrac{7n+(a_1-\dfrac 12)}{6n}\right\}$．
因为数列 $\left\{\dfrac{7n+b}{6n+d}\right\}$ 当且仅当 $b=\dfrac 76 d$ 时为常数数列，而当 $b\ne \dfrac 76 d$ 时为单调数列，所以当 $a_1$ 的值为$$\dfrac 76\times (-5)+7,\dfrac 76\times (-4)+6,\dfrac 76\times (-2)+2,\dfrac 76\times (-1)+1,\dfrac 76 \times 0+\dfrac 12,$$即 $a_1\in\left\{\dfrac 76,\dfrac 43,-\dfrac 13,-\dfrac 16,\dfrac 12\right\}$ 时会出现某些项在数列中重复出现无数次．
另一方面，若 $a_1\notin\left\{\dfrac 76,\dfrac 43,-\dfrac 13,-\dfrac 16,\dfrac 12\right\}$ 时，因为组成数列 $\left\{\dfrac{a_n}{n}\right\}$ 的 $6$ 个数列都是单调数列，因此数列中的任何一项在这 $6$ 个数列中都至多各出现 $1$ 次，总计不会重复出现超过 $6$ 次，也就是说其中任意一项都不会在数列中重复出现无数次．
综上，数列的首项 $a_1$ 应满足的条件是 $a_1\notin\left\{\dfrac 76,\dfrac 43,-\dfrac 13,-\dfrac 16,\dfrac 12\right\}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
