题目 已知集合 $A=\{a_1,a_2,\cdots ,a_n\}$ 中的元素都是正整数，且 $a_1<a_2<\cdots <a_n$，对任意的 $x,y \in A$ 且 $x\ne y$，有 $|x-y|\geqslant \dfrac{xy}{25}$． 问题1 求证：$\dfrac 1{a_1}-\dfrac 1{a_n}\geqslant \dfrac{n-1}{25}$； 答案1 略 解析1 记 $\Delta\left(\dfrac 1{a_k}\right)=\dfrac 1{a_{k+1}}-\dfrac 1{a_k}$，由条件知$$\left|\dfrac 1x -\dfrac 1y\right|\geqslant \dfrac 1{25} , \Delta\left(\dfrac 1{a_k}\right)<0,$$因此 $\Delta\left(\dfrac 1{a_k}\right)\leqslant -\dfrac 1{25},k=1,2,\cdots,n-1$．<br/>注意到$$\dfrac 1{a_1}-\dfrac 1{a_n}=-\sum\limits_{k=1}^{n-1}{\Delta\left(\dfrac 1{a_k}\right)},$$于是$$\dfrac 1{a_1}-\dfrac 1{a_n}\geqslant \dfrac {n-1}{25}.$$ 备注1 问题2 求证：$n\leqslant 9$； 答案2 略 解析2 对于数列 $\left\{\dfrac 1{a_n}\right\}$，它是一个上界为 $1$，下界为 $0$，单调递减的数列．<br/>利用$$a_1<a_2<\cdots <a_n$$估计 $a_p$ 的下界，可以得到$$a_p\geqslant p\cdots {\text{ ① }}$$利用$$\displaystyle \sum\limits_{k=p}^{n-1}{\Delta\left(\dfrac 1{a_k}\right)}=\dfrac 1{a_n}-\dfrac 1{a_p}\leqslant -\dfrac{n-p}{25}$$估计 $a_p$ 的上界，有$$a_p\leqslant \dfrac{1}{\dfrac 1{a_n}+\dfrac{n-p}{25}}<\dfrac{25}{n-p}\cdots {\text{ ② }}$$由 ①②，$$n<\dfrac{25}{n-p},$$于是$$n<\dfrac{25}{p}+p.$$取 $p=5$，有 $n<10$，即 $n\leqslant 9$． 备注2 问题3 对于 $n=9$，试给出一个满足条件的集合 $A$． 答案3 $A=\{1,2,3,4,5,7,10,17,51\}$ 解析3 因为$$\dfrac 1{a_{n+1}}-\dfrac 1{a_n}\leqslant -\dfrac 1{25},$$所以$$a_{n+1}\geqslant \dfrac {25a_n}{25-a_n},$$可以令$$a_{n+1}=\left[ \dfrac {25a_n}{25-a_n}\right]+1,$$其中 $a_n<25$．<br/>取 $a_1=1$，则有$$A=\{1,2,3,4,5,7,10,17,51\}$$为满足条件的一个集合． 备注3