题目 有 $n$ 个首项都是 $1$ 的等差数列，设第 $m$ 个数列的第 $k$ 项为 $a_{mk}$（$1\leqslant m$，$k\leqslant n$，$n\geqslant 3$，$m,n,k\in \mathbb N_+$），公差为 $d_m$，并且 $a_{1n},a_{2n},a_{3n},\cdots ,a_{nn}$ 成等差数列． 问题1 证明 $d_m=p_1d_1+p_2d_2$（$3\leqslant m\leqslant n$，$p_1,p_2$ 是 $m$ 的多项式），并求 $p_1+p_2$ 的值； 答案1 略；$p_1+p_2=1$ 解析1 由题意知$$\begin{split}a_{mn}&=1+(n-1)d_m,\\a_{2n}-a_{1n}&=[1+(n-1)d_2]-[1+(n-1)d_1]\\ &=(n-1)(d_2-d_1),\end{split}$$同理\[\begin{split}a_{3n}-a_{2n}&=(n-1)(d_3-d_2),\\ a_{4n}-a_{3n}&=(n-1)(d_4-d_3),\\ &\cdots,\\ a_{nn}-a_{(n-1)m}&=(n-1)(d_n-d_{n-1}).\end{split}\]又因为 $a_{1n},a_{2n},a_{3n},\cdots ,a_{nn}$ 成等差数列，所以$$a_{2n}-a_{1n}=a_{3n}-a_{2n}=\cdots =a_{nn}-a_{(n-1)m},$$故$$d_2-d_1=d_3-d_2=\cdots =d_n-d_{n-1},$$即 $\{d_n\}$ 是公差为 $d_2-d_1$ 的等差数列．<br/>所以$$\begin{split}d_m&=d_1+(m-1)(d_2-d_1)\\ &=(2-m)d_1+(m-1)d_2.\end{split}$$令 $p_1=2-m$，$p_2=m-1$，则$$d_m=p_1d_1+p_2d_2,$$此时 $p_1+p_2=1$． 备注1 问题2 当 $d_1=1$，$d_2=3$ 时，将数列 $\{d_m\}$ 分组如下：<br/>$(d_1)$，$(d_2,d_3,d_4)$，$(d_5,d_6,d_7,d_8,d_9)$，$\cdots$（每组数的个数构成等差数列 $1,3,5\cdots $）．<br/>设前 $m$ 组中所有数之和为 $(c_m)^4$（$c_m>0$），求数列 $\{2^{c_m}d_m\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$． 答案2 $S_n=(2n-3)2^{n+1}+6.$ 解析2 当 $d_1=1,d_2=3$ 时，$$d_m=2m-1 , m\in \mathbb N^+.$$数列 $\{d_m\}$ 分组如下：$(d_1)$，$(d_2,d_3,d_4)$，$(d_5,d_6,d_7,d_8,d_9)$，$\cdots$<br/>按分组规律，第 $m$ 组中有 $2m-1$ 个奇数，<br/>所以第 $1$ 组到第 $m$ 组共有$$1+3+5\cdots+(2m-1)=m^2$$个奇数．<br/>注意到前 $k$ 个奇数的和为$$1+3+5+\cdots +(2k-1)=k^2,$$所以前 $m^2$ 个奇数的和为 $(m^2)^2=m^4$．<br/>即前 $m$ 组中所有数之和为 $m^4$，所以 $(c_m)^4=m^4$．<br/>因为 $c_m>0$，所以 $c_m=m$，从而$$2^{c_m}\cdot d_m=(2m-1)\cdot 2^m,m\in \mathbb N_+,$$所以$$S_n=1\cdot 2 +3\cdot 2^2+5\cdot 2^3+7\cdot 2^4+\cdots +(2n-3)\cdot 2^{n-1}+(2n-1)\cdot 2^n,$$所以$$2S_n=1\cdot 2^2 +3\cdot 2^3+5\cdot 2^4+7\cdot 2^5+\cdots +(2n-3)\cdot 2^{n}+(2n-1)\cdot 2^{n+1},$$故\[\begin{split}-S_n&=2+2\cdot 2^2+2\cdot 2^3+\cdots +2\cdot 2^n-(2n-1)\cdot 2^{n+1}\\&=<br/>2(2+2^2+2^3+\cdots +2^n)-2-(2n-1)\cdot 2^{n+1}\\&=<br/>2\times \dfrac{2(2^n-1)}{2-1}-2-(2n-1)\cdot 2^{n+1}\\&=(3-2n)2^{n+1}-6,\end{split}\]因此$$S_n=(2n-3)2^{n+1}+6.$$ 备注2 问题3 设 $N$ 是不超过 $20$ 的正整数，当 $n>N$ 时，对于⑵中的 $S_n$，求使得不等式 $\dfrac 1{50}(S_n-6)>d_n$ 成立的所有 $N$ 的值． 答案3 满足条件的所有正整数 $N$ 为 $5,6,7,\cdots,20$ 解析3 由 $(2)$ 得 $d_n=2n-1$（$n\in \mathbb N^+$），进而$$S_n=(2n-3)2^{n+1}+6,n\in \mathbb N_+.$$故不等式$$\dfrac 1{50}(S_n-6)>b_n,$$即$$(2n-3)2^{n+1}-50(2n-1)>0,$$记左边为 $x_n$，则$$\Delta x_n=(2n+1)2^{n+1}-100.$$$\Delta x_n$ 单调递增，且当 $n=3$ 时，$\Delta x_n <0$，当 $n=4$ 时，$\Delta x_n >0$．<br/>因为 $x_0<0$，所以 $x_1,x_2,x_3,x_4<0$，进而计算 $x_5<0$，$x_6>0$．<br/>所以 $N\geqslant 5$，满足条件的所有正整数 $N$ 为 $5,6,7,\cdots,20$． 备注3