题目 $y=f(x)$ 是定义在区间 $[-1,1]$ 上的函数，且满足条件：<br/>① $f(-1)=f(1)=0$；<br/>② 对于任意的 $u,v\in[-1,1]$，都有 $\left|f(u)-f(v)\right|\leqslant |u-v|$； 问题1 证明：对任意的 $x\in[-1,1]$，都有 $x-1\leqslant f(x)\leqslant 1-x$； 答案1 略 解析1 取 $u=x,v=1$ 得$$\left|f(x)\right|\leqslant |x-1|=1-x,$$即$$x-1\leqslant f(x)\leqslant 1-x.$$ 备注1 问题2 证明：对任意的 $u,v\in[-1,1]$，都有 $\left|f(u)-f(v)\right|\leqslant 1$； 答案2 略 解析2 <case>情形一</case> 若 $|u-v|\leqslant 1$，则$$\left|f(u)-f(v)\right|\leqslant |u-v|\leqslant 1,$$命题成立；<br/><case>情形二</case> 若 $|u-v|>1$，则不妨设 $u\in(0,1]$，$v\in[-1,0)$．<br/>由 $(1)$ 得$$|f(x)|\leqslant |x-1| , |f(x)|\leqslant |x+1|,$$因此$$|f(u)|\leqslant 1-u , |f(v)|\leqslant 1+v,$$于是\[|f(u)-f(v)|\leqslant |f(u)+f(v)|\leqslant 1-u+1+v\leqslant 1,\]命题成立．<br/>综合以上两种情形，命题得证． 备注2 问题3 在区间 $[-1,1]$ 上是否存在满足题设条件的奇函数 $y=f(x)$，且使得$$\begin{cases}\left|f(u)-f(v)\right|<|u-v|,v\in\left[0,\dfrac{1}{2}\right]\\ \left|f(u)-f(v)\right|=|u-v|,u,v\in\left[\dfrac{1}{2},1\right].\end{cases}$$若存在，请举一例；若不存在，请说明理由； 答案3 不存在 解析3 假设存在满足题意的函数，则 $f(0)=0$．<br/><case>情形一</case> $u,v\in\left[0,\dfrac{1}{2}\right]$，$|f(u)-f(v)|<|u-v|$，所以$$\left|f\left(\dfrac{1}{2}\right)-f(0)\right|<\left|\dfrac{1}{2}-0\right|,$$即 $\left|f\left(\dfrac{1}{2}\right)\right|<\dfrac{1}{2}$；<br/><case>情形二</case> $u,v\in\left[\dfrac{1}{2},1\right]$，$|f(u)-f(v)|=|u-v|$，所以$$\left|f\left(\dfrac{1}{2}\right)-f(0)\right|=\left|\dfrac{1}{2}-0\right|,$$即 $\left|f\left(\dfrac{1}{2}\right)\right|=\dfrac{1}{2}$．<br/>二者矛盾，因此不存在满足题意的函数 $f(x)$． 备注3