下表给出一个“等差数阵”：\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline 4&7&(\qquad)&(\qquad)&(\qquad)&\cdots\cdots&a_{1j}&\cdots\cdots\\ \hline 7&12&(\qquad)&(\qquad)&(\qquad)&\cdots\cdots &a_{2j}&\cdots\cdots\\ \hline (\qquad)&(\qquad)&(\qquad)&(\qquad)&(\qquad)&\cdots\cdots&a_{3j}&\cdots\cdots\\ \hline (\qquad)&(\qquad)&(\qquad)&(\qquad)&(\qquad)&\cdots\cdots &a_{4j}&\cdots\cdots \\ \hline \cdots\cdots&\cdots\cdots&\cdots\cdots&\cdots\cdots&\cdots\cdots&\cdots\cdots&\cdots\cdots&\cdots\cdots\\ \hline
a_{i1}&a_{i2}&a_{i3}&a_{i4}&a_{i5}&\cdots\cdots&a_{ij}&\cdots\cdots\\ \hline \cdots\cdots&\cdots\cdots&\cdots\cdots&\cdots\cdots&\cdots\cdots&\cdots\cdots&\cdots\cdots&\cdots\cdots\\ \hline
\end{array}\]其中每行、每列都是等差数列，$a_{ij}$ 表示位于第 $i$ 行第 $j$ 列的数．
a_{i1}&a_{i2}&a_{i3}&a_{i4}&a_{i5}&\cdots\cdots&a_{ij}&\cdots\cdots\\ \hline \cdots\cdots&\cdots\cdots&\cdots\cdots&\cdots\cdots&\cdots\cdots&\cdots\cdots&\cdots\cdots&\cdots\cdots\\ \hline
\end{array}\]其中每行、每列都是等差数列，$a_{ij}$ 表示位于第 $i$ 行第 $j$ 列的数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
写出 $a_{45}$ 的值；标注答案$49$解析略
-
写出 $a_{ij}$ 的计算公式；标注答案$a_{ij}=2ij+i+j$解析该等差数阵的第一行是首项为 $4$，公差为 $3$ 的等差数列：$$a_{ij}=4+3(j-1).$$第二行是首项为 $7$，公差为 $5$ 的等差数列：$$a_{2j}=7+5(j-1).$$$\cdots\cdots$
第 $i$ 行是首项为 $4+3(i-1)$，公差为 $2i+1$ 的等差数列，因此$$\begin{split}a_{ij}&=4+3(i-1)+(2i+1)(j-1)\\ &=2ij+i+j.\end{split}$$ -
证明：正整数 $N$ 在该等差数列阵中的充要条件是 $2N+1$ 可以分解成两个不是 $1$ 的正整数之积．标注答案略解析
必要性 若 $N$ 在该等差数阵中，则存在正整数 $i$，$j$ 使得$$N=2ij+i+j,$$从而$$2N+1=(2i+1)(2j+1),$$即正整数 $2N+1$ 可以分解成两个不是 $1$ 的正整数之积．充分性 若 $2N+1$ 可以分解成两个不是 $1$ 的正整数之积，由于 $2N+1$ 是奇数，则它必为两个不是 $1$ 的奇数之积，即存在正整数 $k,l$，使得$$2N+1=(2k+1)(2l+1),$$从而$$N=2KL+K+L=a_{kl},$$可见 $N$ 在该等差数列中．
因此，正整数 $N$ 在该等差数阵中的充要条件是 $2N+1$ 可以分解成两个不是 $1$ 的正整数之积．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
