题目 已知定义在 $\mathbb R$ 上的连续函数 $f(x)$ 和数列 $\{a_n\}$，$a_1=a$，$a_2\ne a_1$，当 $n\in \mathbb N_+$ 且 $n\geqslant 2$ 时，$a_n=f(a_{n-1})$，且 $f(a_n)-f(a_{n-1})=k(a_n-a_{n-1})$，其中 $a,k$ 均为非零常数． 问题1 若数列 $\{a_n\}$ 是等差数列，求 $k$ 的值； 答案1 $1$ 解析1 因为 $\{a_n\}$ 为等差数列，所以$$a_{n+1}-a_n=a_n-a_{n-1},$$又因为$$a_{n+1}-a_n=k(a_n-a_{n-1}),$$所以 $k=1$． 备注1 问题2 令 $b_n=a_{n+1}-a_n$（$n\in \mathbb N_+$），若 $b_1=1$，求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式； 答案2 $b_n=k^{n-1},n\in \mathbb N_+$ 解析2 因为$$b_n=a_{n+1}-a_n=k(a_n-a_{n-1})=kb_{n-1},$$所以$$b_n=k^{n-1},n\in \mathbb N_+.$$ 备注2 问题3 若数列 $\{a_n\}$ 为等比数列，求函数 $f(x)$ 的解析式． 答案3 $f(x)=kx(k\ne 1)$ 解析3 设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$，则因为$$a_2\ne a_1 , q\ne 1,$$所以$$a_n\ne a_{n-1},$$从而$$k=\dfrac{a_{n+1}-a_n}{a_n-a_{n-1}}=q,$$而$$a_n=q\cdot a_{n-1},$$所以 $f(x)=kx(k\ne 1)$． 备注3