已知 $a_i>0$，$x_i\in\mathbb R$，其中 $i=1,2,\cdots,n$．求证：\[\left[\left(1-\sum_{i=1}^n\left(a_i\cdot \sin x_i\right)\right)^2+\left(1-\sum_{i=1}^n\left(a_i\cdot \cos x_i\right)\right)^2\right]^2\geqslant 4\left(1-\sum_{i=1}^na_i\right)^3.\]
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由于当 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^na_i\geqslant 1$ 时，右边不大于 $0$，因此不等式显然成立．接下来只需要考虑 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^na_i<1$ 的情形．此时 $0<a_i<1$（$i=1,2,\cdots,n$）．记\[m=\left(1-\sum_{i=1}^n\left(a_i\cdot \sin x_i\right)\right)^2+\left(1-\sum_{i=1}^n\left(a_i\cdot \cos x_i\right)\right)^2,\]则根据平均值不等式，有\[\begin{split}m&\geqslant \dfrac 12\left(2-\sum_{i=1}^n\left(a_i\left(\sin x_i+\cos x_i\right)\right)\right)^2\\
&=\left(\sqrt 2-\sum_{i=1}^n\left(a_i\cdot \sin\left(x_i+\dfrac{\pi}4\right)\right)\right)^2\\
&\geqslant \left(\sqrt 2-\sum_{i=1}^na_i\right)^2,\end{split}\]于是问题即证明\[\forall x\in(0,1),\left(\sqrt 2-x\right)^4\geqslant 4(1-x)^3,\]也即\[\forall x\in (0,1),x^3+\left(4-4\sqrt 2\right)x^2+12-8\sqrt 2\geqslant 0.\]事实上，由于\[\dfrac 12x^3+\dfrac 12x^3+12-8\sqrt 2\geqslant 3\cdot \left(3-2\sqrt 2\right)^{\frac 13}\cdot x^2>4\left(\sqrt 2-1\right)\cdot x^2,\]于是原命题得证．
&=\left(\sqrt 2-\sum_{i=1}^n\left(a_i\cdot \sin\left(x_i+\dfrac{\pi}4\right)\right)\right)^2\\
&\geqslant \left(\sqrt 2-\sum_{i=1}^na_i\right)^2,\end{split}\]于是问题即证明\[\forall x\in(0,1),\left(\sqrt 2-x\right)^4\geqslant 4(1-x)^3,\]也即\[\forall x\in (0,1),x^3+\left(4-4\sqrt 2\right)x^2+12-8\sqrt 2\geqslant 0.\]事实上，由于\[\dfrac 12x^3+\dfrac 12x^3+12-8\sqrt 2\geqslant 3\cdot \left(3-2\sqrt 2\right)^{\frac 13}\cdot x^2>4\left(\sqrt 2-1\right)\cdot x^2,\]于是原命题得证．
答案
解析
备注
