求最大的正实数 $\lambda$，使得对任意正整数 $n$ 和正实数 $a_i$（$i=1,2,\cdots,n$），都有\[1+\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}\geqslant \lambda \left(\dfrac{1}{\sqrt{1+a_1^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+a_1^2+a_2^2}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{1+a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}}\right).\]
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
考虑使用权方和不等式，有\[\begin{split}LHS&=\dfrac{1^{\frac 32}}{1^{\frac 12}}+\dfrac{1^{\frac 32}}{(a_1^2)^{\frac 12}}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}\\
&\geqslant \dfrac{2\sqrt 2}{\sqrt{1+a_1^2}}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}\\
&=\dfrac{2\sqrt 2-1}{\sqrt{1+a_1^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+a_1^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{a_2^2}}+\dfrac{1}{a_3}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}\\
&=\dfrac{2\sqrt 2-1}{\sqrt{1+a_1^2}}+\dfrac{2\sqrt 2}{\sqrt{1+a_1^2+a_2^2}}+\dfrac{1}{a_3}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}\\
&\cdots\\
&\geqslant \left(2\sqrt 2-1\right)\cdot \left(\dfrac{1}{\sqrt{1+a_1^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+a_1^2+a_2^2}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{1+a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}}\right)+\dfrac{1}{\sqrt{1+a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}}
,\end{split}\]等号当 $a_k=2^{\frac{k-1}2}$（$k=1,2,\cdots,n$）时取得．结合 $n\to \infty$ 的情形，可得 $\lambda$ 的最大值为 $2\sqrt 2-1$．
&\geqslant \dfrac{2\sqrt 2}{\sqrt{1+a_1^2}}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}\\
&=\dfrac{2\sqrt 2-1}{\sqrt{1+a_1^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+a_1^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{a_2^2}}+\dfrac{1}{a_3}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}\\
&=\dfrac{2\sqrt 2-1}{\sqrt{1+a_1^2}}+\dfrac{2\sqrt 2}{\sqrt{1+a_1^2+a_2^2}}+\dfrac{1}{a_3}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}\\
&\cdots\\
&\geqslant \left(2\sqrt 2-1\right)\cdot \left(\dfrac{1}{\sqrt{1+a_1^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+a_1^2+a_2^2}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{1+a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}}\right)+\dfrac{1}{\sqrt{1+a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}}
,\end{split}\]等号当 $a_k=2^{\frac{k-1}2}$（$k=1,2,\cdots,n$）时取得．结合 $n\to \infty$ 的情形，可得 $\lambda$ 的最大值为 $2\sqrt 2-1$．
答案
解析
备注
