• 题型

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  不等式

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  代数不等式的证明

略

情形一 $\min\{a,b,c\}\leqslant 0$．此时有\[a+b+c\geqslant 3\min\{a,b,c\}\geqslant 4\min\{a,b,c\}.\]情形二  $ \min\{a,b,c\}>0 $．此时 $ a,b,c>0 $，不妨设 $ a\geqslant c $，则\[b^2\geqslant 4ac\geqslant 4c^2,\]于是 $ b\geqslant 2c$，因此\[a+b+c\geqslant a+2c+c\geqslant 4c=4\min\{a,b,c\}.\]综上所述，原命题得证．

• 题型

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  不等式

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  代数不等式的证明

略

情形一 $\max\{a,b,c\}\leqslant 0$．此时有\[a+b+c\leqslant 3\max\{a,b,c\}\leqslant \dfrac 94\max\{a,b,c\}.\]情形二 $\max\{a,b,c\}>0$ 且 $\min\{a,b,c\}\leqslant 0$．此时有\[a+b+c\leqslant 2\max\{a,b,c\}+\min\{a,b,c\}\leqslant 2\max\{a,b,c\}\leqslant \dfrac 94\max\{a,b,c\}.\]情形三 $\min\{a,b,c\}>0$．此时 $a,b,c>0$，不妨设 $a\geqslant c$．
（i）若 $a\geqslant b\geqslant c$，则\[b^2\geqslant 4ac\geqslant 4bc,\]于是 $b\geqslant 4c$，从而\[a+b+c\leqslant \dfrac 94a=\dfrac 94\max\{a,b,c\}.\]（ii）若 $b\geqslant 4a\geqslant c$，则\[a+b+c\leqslant \dfrac 94b=\dfrac 94\max\{a,b,c\}.\]（iii）若 $4a>b\geqslant a\geqslant c$，则\[a+b+c\leqslant a+b+\dfrac{b^2}{4a}\leqslant b+\dfrac 54b=\dfrac 94\max\{a,b,c\}.\]注意 $a+\dfrac{b^2}{4a}$ 是关于 $a$ 的对勾函数，当 $\dfrac b4<a\leqslant b$ 时，最大值在 $a=b$ 时取到．
（iv）若 $a\geqslant c>b$，则$$a+b+c\leqslant a+a+\dfrac{b^2}{4a}<a+a+\dfrac a4=\dfrac 94a=\dfrac 94\max\{a,b,c\}.$$综上所述，原命题得证．