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设函数 $f(x)={\rm e}^x(2x-1)-ax+a$，其中 $a<1$，若存在唯一的整数 $x_0$ 使得 $f(x_0)<0$，则 $a$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
A: $\left[-\dfrac{3}{2{\rm e}},1\right)$
B: $\left[-\dfrac{3}{2{\rm e}},\dfrac 34\right)$
C: $\left[\dfrac{3}{2{\rm e}},\dfrac 34\right)$
D: $\left[\dfrac{3}{2{\rm e}},1\right)$
【难度】
【出处】
2015年高考全国Ⅰ卷（理）
【标注】
  • 题型
    >
    不等式
    >
    恒成立与存在性问题
  • 方法
    >
    思考方式
    >
    必要条件探路
  • 方法
    >
    代数处理
    >
    分离变量法
【答案】
D
【解析】
题中不等式即\[\begin{cases} x\geqslant 2,x\in\mathbb N,\\ a>\dfrac{{\rm e}^x(2x-1)}{x-1},\end{cases} \lor \begin{cases} x\leqslant 0,x\in\mathbb N,\\ a<\dfrac{{\rm e}^x(2x-1)}{x-1},\end{cases}\]设\[\varphi(x)=\dfrac{{\rm e}^x(2x-1)}{x-1},\]则其导函数\[\varphi'(x)=\dfrac{{\rm e}^x}{(x-1)^2}\cdot x(2x-3),\]于是符合题意的唯一整数 $x_0$ 可能为 $0$ 和 $2$．当 $x_0=0$ 时，有\[\varphi(-1)\leqslant a<\varphi(0),\]即\[\dfrac{3}{2{\rm e}}\leqslant a<1.\]当 $x_0=2$ 时，有\[\varphi(2)<a\leqslant \varphi(3),\]即\[3{\rm e}^2<a\leqslant \dfrac 52{\rm e}^3.\]考虑到 $a<1$，因此实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{3}{2{\rm e}},1\right)$．
题目 答案 解析 备注
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