已知 $x>0$，求证：${\rm e}^{x-1}\leqslant \dfrac{x^2+x-x\ln x}{3-x+\ln x}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意，有\[\begin{split}\forall x>0,{\rm e}^{x-1}\leqslant \dfrac{x^2+x-x\ln x}{3-x+\ln x}&\Leftrightarrow \forall x>0,\dfrac{{\rm e}^{x-1}}x+1\leqslant \dfrac{4}{3-x+\ln x}\\
&\Leftrightarrow \forall x>0,\dfrac{{\rm e}^{x-1}}{x}+1\leqslant \dfrac{4}{2+\ln\dfrac{x}{{\rm e}^{x-1}}}\\
&\Leftrightarrow\forall x\geqslant 1,x+1\leqslant \dfrac{4}{2-\ln x}\\
&\Leftrightarrow\forall x\geqslant 1,\ln x\geqslant \dfrac{2(x-1)}{x+1}
,\end{split}\]而根据对数函数的进阶放缩，该不等式成立，因此原命题得证．
&\Leftrightarrow \forall x>0,\dfrac{{\rm e}^{x-1}}{x}+1\leqslant \dfrac{4}{2+\ln\dfrac{x}{{\rm e}^{x-1}}}\\
&\Leftrightarrow\forall x\geqslant 1,x+1\leqslant \dfrac{4}{2-\ln x}\\
&\Leftrightarrow\forall x\geqslant 1,\ln x\geqslant \dfrac{2(x-1)}{x+1}
,\end{split}\]而根据对数函数的进阶放缩，该不等式成立，因此原命题得证．
答案
解析
备注
