已知 $x,y,z>0$ 且 $xyz+x+z=y$，求 $m=\dfrac{2}{1+x^2}-\dfrac{2}{1+y^2}+\dfrac{3}{1+z^2}$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{10}3$
【解析】
设 $x=\tan\alpha$，$y=\tan\beta$，$z=\tan\left(\beta-\alpha\right)$，其中 $\alpha,\beta\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，且 $\beta>\alpha$，于是\[\begin{split}
m&=2\cos^2\alpha-2\cos^2\beta+3\cos^2(\beta-\alpha)\\&=2\sin\left(\alpha+\beta\right)\sin\left(\beta-\alpha\right)-3\sin^2\left(\beta-\alpha\right)+3\\
&\leqslant 2\sin(\beta-\alpha)-3\sin^2(\beta-\alpha)+3\\
&\leqslant \dfrac{10}3,\end{split}\]等号当 $\alpha+\beta=\dfrac{\pi}2$ 且 $\sin\left(\beta-\alpha\right)=\dfrac13$ 时取得．因此所求代数式的最大值为 $\dfrac{10}3$．
m&=2\cos^2\alpha-2\cos^2\beta+3\cos^2(\beta-\alpha)\\&=2\sin\left(\alpha+\beta\right)\sin\left(\beta-\alpha\right)-3\sin^2\left(\beta-\alpha\right)+3\\
&\leqslant 2\sin(\beta-\alpha)-3\sin^2(\beta-\alpha)+3\\
&\leqslant \dfrac{10}3,\end{split}\]等号当 $\alpha+\beta=\dfrac{\pi}2$ 且 $\sin\left(\beta-\alpha\right)=\dfrac13$ 时取得．因此所求代数式的最大值为 $\dfrac{10}3$．
答案
解析
备注
