计算：\[\dfrac{(7^4+64)(15^4+64)(23^4+64)(31^4+64)(39^4+64)}{(3^4+64)(11^4+64)(19^4+64)(27^4+64)(35^4+64)}.\]
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$337$
【解析】
考虑到\[\begin{split}m^4+4n^4&=\left(m^2+2n^2\right)^2-(2mn)^2\\
&=\left(m^2+2n^2-2mn\right)\cdot \left(m^2+2n^2+2mn\right)\\
&=\left[(m-n)^2+n^2\right]\cdot \left[(m+n)^2+n^2\right],\end{split}\]于是\[\dfrac{\displaystyle\prod_{k=0}^{p}\left[(m+n+4nk)^4+4n^4\right]}{\displaystyle\prod_{k=0}^{p}\left[(m-n+4nk)^4+4n^4\right]}=\dfrac{(m+2n+4np)^2+n^2}{(m-2n)^2+n^2}.\]本题即为 $(m,n,p)=(5,2,4)$ 的情形，其计算结果为\[\dfrac{(5+4+32)^2+4}{(5-4)^2+4}=337.\]
&=\left(m^2+2n^2-2mn\right)\cdot \left(m^2+2n^2+2mn\right)\\
&=\left[(m-n)^2+n^2\right]\cdot \left[(m+n)^2+n^2\right],\end{split}\]于是\[\dfrac{\displaystyle\prod_{k=0}^{p}\left[(m+n+4nk)^4+4n^4\right]}{\displaystyle\prod_{k=0}^{p}\left[(m-n+4nk)^4+4n^4\right]}=\dfrac{(m+2n+4np)^2+n^2}{(m-2n)^2+n^2}.\]本题即为 $(m,n,p)=(5,2,4)$ 的情形，其计算结果为\[\dfrac{(5+4+32)^2+4}{(5-4)^2+4}=337.\]
答案
解析
备注
