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设函数 $f(x)={\rm e}^x(2x-1)-ax+a$，其中 $a<1$，若存在唯一的整数 $x_0$ 使得 $f(x_0)<0$，则 $a$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
A: $\left[-\dfrac{3}{2{\rm e}},1\right)$
B: $\left[-\dfrac{3}{2{\rm e}},\dfrac 34\right)$
C: $\left[\dfrac{3}{2{\rm e}},\dfrac 34\right)$
D: $\left[\dfrac{3}{2{\rm e}},1\right)$
【难度】
【出处】
2015年高考全国Ⅰ卷（理）
【标注】
  • 方法
    >
    代数处理
    >
    半分离变量法
  • 题型
    >
    不等式
    >
    恒成立与存在性问题
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    利用导数研究函数的性质
    >
    利用导数研究函数的最值
【答案】
D
【解析】
考虑将含参不等式$${\rm e}^x(2x-1)-ax+a<0$$分离为$${\rm e}^x(2x-1)<a(x-1),$$这样题意即曲线 $g(x)={\rm e}^x(2x-1)$ 在过定点 $(1,0)$ 且斜率为 $a$ 的直线 $y=a(x-1)$ 下方的部分在 $x$ 轴上的投影只包含唯一整数．
由于 $g(x)$ 的导函数$$g'(x)={\rm e}^x(2x+1),$$于是 $g(x)$ 在 $x=-\dfrac 12$ 处取得极小值 $-\dfrac{2}{\sqrt{\rm e}}$，如图．结合图象可知，符合题意的唯一整数为 $0$．设 $B(-1,g(-1))$，$C(0,g(0))$，则 $a$ 的取值范围为从直线 $AB$ 的斜率到直线 $AC$ 斜率的左闭右开区间，也即 $\left[\dfrac{3}{2{\rm e}},1\right)$．
题目 答案 解析 备注
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