已知 $x,y>0$，求 $m=6\left(x^2+y^2\right)(x+y)-4\left(x^2+xy+y^2\right)-3(x+y)+5$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
设 $x+y=2a$，$x-y=2b$，其中 $a>b$，则\[x=a+b,y=a-b,\]代入整理可得\[m=\left(24a-4\right)b^2+24a^3-12a^2-6a+5.\]情形一 若 $a\geqslant \dfrac 16$，则\[m\geqslant 24a^3-12a^2-6a+5,\]记右边为 $f(a)$，则\[f'(a)=6\left(12a^2-4a-1\right),\]于是当 $a=\dfrac 12$ 时，$f(a)$ 取得极小值，亦为最小值 $f\left(\dfrac 12\right)=2$．
情形二 若 $a<\dfrac 16$，则\[\begin{split}m&>\left(24a-4\right)a^2+24a^3-12a^2-6a+5\\
&=48a^3-16a^2-6a+5\\
&>-16\cdot \left(\dfrac 16\right)^2-6\cdot\dfrac 16+5\\
&>2.\end{split}\]综上所述，$m$ 的最小值为 $2$，当 $(x,y)=\left(\dfrac 12,\dfrac 12\right)$ 时取得．
&=48a^3-16a^2-6a+5\\
&>-16\cdot \left(\dfrac 16\right)^2-6\cdot\dfrac 16+5\\
&>2.\end{split}\]综上所述，$m$ 的最小值为 $2$，当 $(x,y)=\left(\dfrac 12,\dfrac 12\right)$ 时取得．
答案
解析
备注
