已知 $x,y>0$，求 $m=6\left(x^2+y^2\right)(x+y)-4\left(x^2+xy+y^2\right)-3(x+y)+5$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
注意到\[m(x-y)=\left(6x^4-4x^3-3x^2+5x\right)-\left(6y^4-4y^3-3y^2+5y\right),\]设 $\varphi(x)=6x^4-4x^3-3x^2+5x$，则当 $x\ne y$ 时，不妨设 $x<y$，根据拉格朗日中值定理有\[m=\dfrac{\varphi(x)-\varphi(y)}{x-y}=\varphi'(\xi),\]其中 $\xi \in (x,y)$．而\[\varphi'(\xi)=24\xi^3-12\xi^2-6\xi+5,\]进而\[\varphi''(\xi)=6\left(12\xi^2-4\xi-1\right),\]于是\[\varphi'(\xi)\geqslant \varphi'\left(\dfrac 12\right)=2,\]于是 $m\geqslant 2$．
又当 $(x,y)=\left(\dfrac 12,\dfrac 12\right)$ 时，$m=2$，因此所求 $m$ 的最小值为 $2$．
又当 $(x,y)=\left(\dfrac 12,\dfrac 12\right)$ 时，$m=2$，因此所求 $m$ 的最小值为 $2$．
答案
解析
备注
