略

由\[e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} , \dfrac{{{a^2}}}{c} = 2\sqrt 2 ,\]解得\[a = 2,c = \sqrt 2 ,{b^2} = {a^2} - {c^2} = 2,\]故椭圆的标准方程为\[\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{2} = 1.\]

略

设 $P\left( {x,y} \right)$，$M\left( {{x_1},{y_1}} \right)$，$N\left( {{x_2},{y_2}} \right)$，则由 $\overrightarrow {OP} = \overrightarrow {OM} + 2\overrightarrow {ON} $ 得\[\begin{split}\left( {x,y} \right) = \left( {{x_1},{y_1}} \right) + 2\left( {{x_2},{y_2}} \right) = \left( {{x_1} + 2{x_2},{y_1} + 2{y_2}} \right),\end{split}\]即\[\begin{split}x & = {x_1} + 2{x_2} ,\\ y & = {y_1} + 2{y_2}.\end{split}\]因为点 $M$，$N$ 在椭圆 ${x^2} + 2{y^2} = 4$ 上，所以\[\begin{split}x_1^2 + 2y_1^2 &= 4 , \\ x_2^2 + 2y_2^2 & = 4,\end{split}\]故\[\begin{split}{x^2} + 2{y^2} & = \left( {x_1^2 + 4x_2^2 + 4{x_1}{x_2}} \right) + 2\left( {y_1^2 + 4y_2^2 + 4{y_1}{y_2}} \right) \\& = \left( {x_1^2 + 2y_1^2} \right) + 4\left( {x_2^2 + 2y_2^2} \right) + 4\left( {{x_1}{x_2} + 2{y_1}{y_2}} \right) \\&
= 20 + 4\left( {{x_1}{x_2} + 2{y_1}{y_2}} \right).\end{split}\]设 ${k_{OM}}$，${k_{ON}}$ 分别为直线 $OM$，$ON $ 的斜率，由题设条件知\[{k_{OM}} \cdot {k_{ON}} = \dfrac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = - \dfrac{1}{2},\]因此\[{x_1}{x_2} + 2{y_1}{y_2} = 0,\]所以\[{x^2} + 2{y^2} = 20.\]所以 $P$ 点是椭圆 $\dfrac{{{x^2}}}{{{{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^2}}} = 1$ 上的点．
设该椭圆的左、右焦点为 ${F_1}$，${F_2}$，则由椭圆的定义 ${\left|{P{F_1}}\right|} + {\left|{P{F_2}}\right|}$ 为定值，又因为\[c = \sqrt{\left(2\sqrt 5\right)^2 - \left(\sqrt{10}\right)^2} = \sqrt{10},\]因此两焦点的坐标为\[{F_1}\left( {-\sqrt {10} ,0} \right),{F_2}\left( {\sqrt {10} ,0} \right).\]