已知 $x,y\geqslant 0$，且 $x+y\leqslant 2\pi$，求函数 $f(x,y)=\sin x+\sin y-\sin (x+y)$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{3\sqrt3}2$
【解析】
根据题意有$$\begin{split} f(x,y)&=\sin x+\sin y-\sin (x+y)\\
&=2\sin\dfrac{x+y}2\left(\cos\dfrac{x-y}{2}-\cos\dfrac{x+y}2\right)\\
&\leqslant 2\sin\dfrac{x+y}{2}\left(1-\cos\dfrac{x+y}{2}\right)\\
&=8\sin^3\dfrac{x+y}{4}\cos\dfrac{x+y}4\\
&=\dfrac{8}{\sqrt3}\sqrt{\sin^2\dfrac{x+y}{4}\cdot\sin^2\dfrac{x+y}4\cdot\sin^2\dfrac{x+y}{4}\cdot3\cos^2\dfrac{x+y}{4}}\\
&\leqslant\dfrac{8}{\sqrt3}\sqrt{\left(\dfrac{3\sin^2\dfrac{x+y}{4}+3\cos^2\dfrac{x+y}{4}}{4}\right)^4}\\
&=\dfrac{3\sqrt3}2.
\end{split}$$当 $x=y=\dfrac{2\pi}{3}$ 时，上式等号成立．故 $f(x,y)$ 的最大值为 $\dfrac{3\sqrt3}2$．
&=2\sin\dfrac{x+y}2\left(\cos\dfrac{x-y}{2}-\cos\dfrac{x+y}2\right)\\
&\leqslant 2\sin\dfrac{x+y}{2}\left(1-\cos\dfrac{x+y}{2}\right)\\
&=8\sin^3\dfrac{x+y}{4}\cos\dfrac{x+y}4\\
&=\dfrac{8}{\sqrt3}\sqrt{\sin^2\dfrac{x+y}{4}\cdot\sin^2\dfrac{x+y}4\cdot\sin^2\dfrac{x+y}{4}\cdot3\cos^2\dfrac{x+y}{4}}\\
&\leqslant\dfrac{8}{\sqrt3}\sqrt{\left(\dfrac{3\sin^2\dfrac{x+y}{4}+3\cos^2\dfrac{x+y}{4}}{4}\right)^4}\\
&=\dfrac{3\sqrt3}2.
\end{split}$$当 $x=y=\dfrac{2\pi}{3}$ 时，上式等号成立．故 $f(x,y)$ 的最大值为 $\dfrac{3\sqrt3}2$．
答案
解析
备注
