设函数 $f(x)=x^2+ax+b,a,b\in\mathbb R$，记 $M(a,b)$ 是 $|f(x)|$ 在区间 $[-1,1]$ 上的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
证明：当 $|a|\geqslant 2$ 时，$M(a,b)\geqslant 2$；标注答案略解析根据题意由于 $|a|\geqslant 2$，所以 $\left|-\dfrac a2\right|\geqslant 1$，故 $f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上单调，所以$$M(a,b)=\max\{|f(1)|,|f(-1)|\},$$因此$$\begin{split} 2M(a,b)&\geqslant |f(1)|+|f(-1)|\\
&=|1+a+b|+|1-a+b|\\
&\geqslant |1+a+b-(1-a+b)|\\
&=2|a|\\
&\geqslant 4, \end{split}$$所以 $M(a,b)\geqslant 2$． -
当 $a,b$ 满足 $M(a,b)\leqslant 2$ 时，求 $|a|+|b|$ 的最大值．标注答案$3 $解析因为 $M(a,b)\leqslant 2$，所以$$\begin{cases} |f(1)|\leqslant 2,\\ |f(-1)|\leqslant 2,\end{cases}$$注意到$$|a|+|b|=\max\{|a+b|,|a-b|\},$$而$$\begin{cases} |a+b|=|f(1)-1|\leqslant 3,\\
|a-b|=|f(-1)-1|\leqslant 3,\end{cases}$$所以$$|a|+|b|\leqslant 3.$$取 $f(x)=x^2\pm 2x-1$，均符合题意，故$$\max\{|a|+|b|\}=3.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
