已知正项数列 $\{a_n\}$，满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{\sqrt{a_n^2+1}}$，求证：$$\ln(n+1)<a_1a_2+a_2a_3+\cdots+a_na_{n+1}<\ln\left(\dfrac{2n}3+1\right)+\dfrac12.$$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意，有\[\dfrac{1}{a_{n+1}^2}=1+\dfrac{1}{a_n^2},\]于是\[\dfrac{1}{a_n^2}=n,n\in\mathbb N^{\ast},\]进而\[a_n=\dfrac{1}{\sqrt n},n\in\mathbb N^{\ast},\]欲证不等式即\[\ln (n+1)<\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{\sqrt{k(k+1)}}<\ln\left(\dfrac {2n}3+1\right)+\dfrac 12.\]分析通项，只需要证明对任意 $n\geqslant 2$，$n\in\mathbb N^{\ast}$，均有\[\ln(n+1)-\ln n<\dfrac{1}{n(n+1)}<\ln\left(\dfrac{2n}3+1\right)-\ln\left(\dfrac{2(n-1)}3+1\right),\]也即\[\ln\left(1+\dfrac 1n\right)<\dfrac{1}{n(n+1)}<\ln\left(1+\dfrac{2}{2n+1}\right).\]事实上，根据对数平均不等式，有\[\dfrac{\dfrac 1n-\dfrac{1}{n+1}}{\ln\dfrac{1}{n}-\ln \dfrac{1}{n+1}}>\sqrt{\dfrac{1}{n(n+1)}},\]于是\[\ln\left(1+\dfrac 1n\right)<\dfrac{1}{n(n+1)},\]因此左侧不等式成立．对于右侧不等式，只需要证明当 $0<x<1$ 时，有\[\ln\left(1+\dfrac{2x}{2+x}\right)-\dfrac{x^2}{1+x}>0,\]记左侧函数为 $\varphi(x)$，则其导函数\[\varphi'(x)=\dfrac{4-16x^2-14x^3-3x^4}{(1+x)^2(2+x)(2+3x)},\]于是 $\varphi(x)$ 在 $(0,1)$ 上先单调递增，再单调递减，又\[\varphi(0)=0,\varphi(1)=\ln\dfrac 53-\dfrac 12>0.\]因此该不等式得证．
综上所述，原不等式得证．
综上所述，原不等式得证．
答案
解析
备注
