若 $a,b,c>0$，求证：$\dfrac{a^3}{b+c}+\dfrac{b^3}{c+a}+\dfrac{c^3}{a+b}\geqslant \dfrac12(ab+bc+ca)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由于$$\sum_{cyc}\left(\dfrac{a^3}{b+c}+\dfrac{a(b+c)}{4}\right)\geqslant \sum_{cyc}a^2,$$所以$$\begin{split} LHS&=\sum_{cyc}\dfrac{a^3}{b+c}\\
&\geqslant \sum_{cyc}\left(a^2-\dfrac{a(b+c)}{4}\right)\\
&= \sum_{cyc}a^2-\dfrac12\sum_{cyc}ab\\
&\geqslant \dfrac12\sum_{cyc}ab\\
&=RHS.\end{split}$$证毕．
&\geqslant \sum_{cyc}\left(a^2-\dfrac{a(b+c)}{4}\right)\\
&= \sum_{cyc}a^2-\dfrac12\sum_{cyc}ab\\
&\geqslant \dfrac12\sum_{cyc}ab\\
&=RHS.\end{split}$$证毕．
答案
解析
备注
