求证：$\left(1+\dfrac1n\right)^{n}<\left(1+\dfrac1{n+1}\right)^{n+1},n\in\mathbb N^\ast$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据算术-几何平均不等式有$$\begin{split} LHS&=\left(1+\dfrac1n\right)^{n}\\
&=1\cdot\left(1+\dfrac1n\right)\cdot\left(1+\dfrac1n\right)\cdots\left(1+\dfrac1n\right)\\
&<\left(\dfrac{n+1+1}{n+1}\right)^{n+1}\\
&=\left(1+\dfrac1{n+1}\right)^{n+1}\\
&=RHS. \end{split}$$证毕．
&=1\cdot\left(1+\dfrac1n\right)\cdot\left(1+\dfrac1n\right)\cdots\left(1+\dfrac1n\right)\\
&<\left(\dfrac{n+1+1}{n+1}\right)^{n+1}\\
&=\left(1+\dfrac1{n+1}\right)^{n+1}\\
&=RHS. \end{split}$$证毕．
答案
解析
备注
