已知 $x,y,z>0$，且 $\dfrac{x}{2+x}+\dfrac{y}{2+y}+\dfrac{z}{2+z}=1$，求 $\dfrac{x^2}{2+x}+\dfrac{y^2}{2+y}+\dfrac{z^2}{2+z}$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$1$
【解析】
根据题意设$$(a,b,c)=\left(\dfrac{x}{2+x},\dfrac{y}{2+y},\dfrac{z}{2+z}\right),$$则$$(x,y,z)=\left(\dfrac{2a}{1-a},\dfrac{2b}{1-b},\dfrac{2c}{1-c}\right),$$且$$\left(0<a,b,c<1\right)\land\left(a+b+c=1\right),$$于是$$\sum_{cyc}\dfrac{x^2}{2+x}=2\sum_{cyc}\dfrac{a^2}{1-a}\geqslant 2\cdot\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3-(a+b+c)}=1.$$当 $a=b=c=\dfrac13$，即 $x=y=1$ 时上式取等．因此所求表达式最小值为 $1$．
答案
解析
备注
