如果集合 $A,B,C$ 满足 $|A\cap B|=|B\cap C|=|C\cap A|=1$，且 $A\cap B\cap C=\varnothing$，则我们称有序三元组 $(A,B,C)$ 为最小相交．例如，$(\{1,2\},\{2,3\},\{1,3,4\})$ 是一个最小相交的三元组，在由集合 $\{1,2,3,4,5,6,7\}$ 的子集构成的所有有序三元组中，求最小相交的有序三元组的个数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$53760$
【解析】
设最小相交的有序三元组的个数为 $M$，令$$S=\{1,2,3,4,5,6,7\}.$$若 $(A,B,C)$ 是由 $S$ 的子集构成的最小相交有序三元组，则存在两两不同的 $x,y,z\in S$，使$$\begin{split} &A\cap B=\{x\}\\
&B\cap C=\{y\}\\
&C\cap A=\{z\}\end{split}$$由分步计数原理可知一共有 $\rm{A}_7^3$ 种方式选取 $x,y,z$．当选定 $x,y,z$ 后对 $S$ 中剩下的 $4$ 个元素，每个元素有 $4$ 种分配方式，即它属于集合 $A,B,C$ 中的某一个，或不属于任何一个．所以再由分步计数原理知$$M=\rm A_7^3\cdot 4^4=53760.$$
&B\cap C=\{y\}\\
&C\cap A=\{z\}\end{split}$$由分步计数原理可知一共有 $\rm{A}_7^3$ 种方式选取 $x,y,z$．当选定 $x,y,z$ 后对 $S$ 中剩下的 $4$ 个元素，每个元素有 $4$ 种分配方式，即它属于集合 $A,B,C$ 中的某一个，或不属于任何一个．所以再由分步计数原理知$$M=\rm A_7^3\cdot 4^4=53760.$$
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解析
备注
