若 $n\in N^\ast$，$\displaystyle S=\sum_{i=1}^n\sqrt{1+\dfrac1{n^2}+\dfrac1{(n+1)^2}}$，求证：$n<S<n+1$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
左侧显然有$$S>\sum_{i=1}^n 1=n.$$而右侧$$\begin{split} S&=\sum_{i=1}^n\sqrt{\left(1+\dfrac1n-\dfrac1{n+1}\right)^2}\\&=\sum_{i=1}^n\left(1+\dfrac1n-\dfrac1{n+1}\right)\\&=n+1-\dfrac1{n+1}\\
&<n+1.\end{split}$$证毕．
&<n+1.\end{split}$$证毕．
答案
解析
备注
