设 $1\leqslant x,y,z\leqslant 6$，求自然数 $x,y,z$ 的乘积能被 $10$ 整除不同的情形有多少种？
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$72$
【解析】
$(1)$ $x,y,z$ 任意选取有 $6^3$ 种；
$(2)$ $x,y,z$ 均不取 $2,4,6$ 的取法有 $3^3$ 种；
$(3)$ $x,y,z$ 均不取 $5$ 的取法有 $5^3$ 种；
$(4)$ $x,y,z$ 均不取 $2,4,5,6$ 的取法有 $2^3$ 种．
由容斥原理可得 $x,y,z$ 的乘积能被 $10$ 整除的情形个数为$$6^3-3^3-5^3+2^3=72.$$
$(2)$ $x,y,z$ 均不取 $2,4,6$ 的取法有 $3^3$ 种；
$(3)$ $x,y,z$ 均不取 $5$ 的取法有 $5^3$ 种；
$(4)$ $x,y,z$ 均不取 $2,4,5,6$ 的取法有 $2^3$ 种．
由容斥原理可得 $x,y,z$ 的乘积能被 $10$ 整除的情形个数为$$6^3-3^3-5^3+2^3=72.$$
答案
解析
备注
