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设直线族和椭圆族分别为 $\begin{cases}
x = t,\\
y = mt + b.\\
\end{cases}$（$m,b \in {\mathbb{R}}$，$t$ 为参数）和 $\dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{a^2}}} + {y^2} = 1$（$a$ 是非零实数），若对于所有的 $m$，直线都与椭圆相交，则 $a,b$ 应满足 \((\qquad)\)
A: ${a^2}\left( {1 - {b^2}} \right) \geqslant 1$
B: ${a^2}\left( {1 - {b^2}} \right) > 1$
C: ${a^2}\left( {1 - {b^2}} \right) < 1$
D: ${a^2}\left( {1 - {b^2}} \right) \leqslant 1$
【难度】
【出处】
2011年复旦大学优秀高中生文化水平选拔测试
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    直线与圆锥曲线
    >
    等效判别式
【答案】
B
【解析】
直线过定点 $\left( {0,b} \right)$，根据题意，该点在椭圆内部，于是\[\begin{split}&\dfrac{{{{\left( {0 - 1} \right)}^2}}}{{{a^2}}} + {b^2} < 1.\\ \Leftrightarrow & 1 + {a^2}{b^2} < {a^2}.\\ \Leftrightarrow &{a^2}\left( {1 - {b^2}} \right) > 1.\end{split}\]
题目 答案 解析 备注
0.110104s