离心率 $e=\sqrt {\dfrac 23}$ 的椭圆 $E$ 的中心在坐标原点 $O$,焦点在 $x$ 轴上.过点 $C(-1,0)$ 的斜率为 $k$($k \in \mathbb R$)的直线 $l$ 与椭圆交于 $A$,$B$,且满足 $\overrightarrow {BA}=(\lambda +1)\overrightarrow {BC}$($\lambda \geqslant 3$).
【难度】
【出处】
无
【标注】
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固定 $\lambda$,当 $\triangle OAB$ 的面积取得最大值时,求椭圆 $E$ 的方程;标注答案$5x^2+9y^2=\dfrac {5\lambda ^2+5}{\lambda^2-2\lambda+1}$解析设 $A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$,椭圆 $E$ 的方程为$$5x^2+9y^2=45m(m>0).$$由$$\overrightarrow {BA}=(\lambda +1)\overrightarrow {BC},$$得$$\dfrac {y_1}{y_2}=-\lambda.$$联立直线 $l$ 与椭圆 $E$ 的方程,得$$\begin{cases}y=k(x+1),\\5x^2+9y^2=45m.\end{cases}$$消 $x$ 整理,得$$\left(\dfrac {5}{k^2}+9\right)y^2-\dfrac {10}{k}y+5-45m=0.$$由两根比公式,得$$\left(-\dfrac {10}{k}\right)^2=\left(-\lambda -\dfrac {1}{\lambda }+2\right)\left(\dfrac {5}{k^2}+9\right)(5-45m).\cdots\cdots \text{ ① }$$又\[\begin{split}S_{\triangle OAB}&=\dfrac 12|y_1-y_2|\\&=\dfrac 12\cdot \dfrac {\sqrt{\left(-\dfrac {10}{k}\right)^2-4\left(\dfrac {5}{k^2}+9\right)(5-45m)}}{\dfrac {5}{k^2}+9}.\cdots\cdots \text{ ② }\end{split}\]将 ① 代入 ②,整理,得$$S_{\triangle OAB}=\dfrac {5}{\dfrac {5}{|k|}+9|k|}\sqrt {1+\dfrac {4\lambda}{\lambda ^2-2\lambda+1}}.$$根据均值定理,知当且仅当 $\dfrac {5}{|k|}=9|k|$ 时,即 $k^2=\dfrac 59$ 时,$S_{\triangle OAB}$ 最大,把 $k^2=\dfrac 59$ 代入 ①,得$$45m=\dfrac {5\lambda ^2+5}{\lambda^2-2\lambda+1}.$$故椭圆 $E$ 的方程为 $5x^2+9y^2=\dfrac {5\lambda ^2+5}{\lambda^2-2\lambda+1}$.
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若 $\lambda $ 变化,且 $\lambda =k^2+1$,试问:实数 $\lambda$ 和 $k$ 分别为何值时,椭圆 $E$ 的长轴长取得最大值?并求出此时椭圆的方程.标注答案$\lambda=3$,$k=\pm \sqrt 2$ 时,椭圆 $E$ 的长轴长取得最大值,此时椭圆方程为$$5x^2+9y^2=\dfrac {190}{23}.$$解析由(1),有$$\left(-\dfrac {10}{k}\right)^2=\left(-\lambda -\dfrac {1}{\lambda }+2\right)\left(\dfrac {5}{k^2}+9\right)(5-45m).\cdots\cdots \text{ ① }$$把 $\lambda =k^2+1$ 代入 ① 整理,得$$f(\lambda)=45m=5+\dfrac {100}{\left(\lambda +\dfrac {1}{\lambda }-2\right)(9\lambda-4)}.$$因为 $f(\lambda)$ 在 $[3,+\infty)$ 上单调递减,所以$$(45m)_{\max}=f(3)=\dfrac {190}{23},$$故 $\lambda=3$,$k=\pm \sqrt 2$ 时,椭圆 $E$ 的长轴长取得最大值,此时椭圆方程为$$5x^2+9y^2=\dfrac {190}{23}.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2