查看数据源：599165bd2bfec200011df49b
如图，已知正三棱柱 $ABC - {A_1}{B_1}{C_1}$ 的底面边长为 $ 2 $，侧棱长为 $3\sqrt 2 $，点 $E$ 在侧棱 $A{A_1}$ 上，点 $F$ 在侧棱 $B{B_1}$ 上，且 $AE = 2\sqrt 2 $，$BF = \sqrt 2 $． 
【难度】
【出处】
2011年高考湖北卷（文）
【标注】
  1. 求证：$CF \perp {C_1}E$；
    标注
    答案
    略
    解析
    解法一：
    由已知得 $ C{C_1} = 3\sqrt 2 $，\[CE = {C_1}F =\sqrt{CB^2+\left(CC_1-BF\right)^2} = \sqrt {{2^2} + {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}} = 2\sqrt 3 , \]\[EF = {C_1}E=\sqrt{ {AB}^2 + {\left( {AE - BF} \right)^2} }=\sqrt {{2^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt 6, \]于是有\[\begin{split}{EF}^2 + {{C_1}E}^2 &= {{C_1}F}^2 , \\ {CE}^2 + {{C_1}E}^2 &= CC_1^2,\end{split}\]所以 ${C_1}E \perp EF$，${C_1}E \perp CE$．
    又 $EF \cap CE = E$，所以 ${C_1}E \perp平面 CEF$．
    由 $CF \subset平面 CEF$，故 $CF \perp C_1 E$．
    解法二：
    建立如图所示的空间直角坐标系， 则由已知可得 $A\left(0,0,0\right) $，$B\left(\sqrt 3 ,1,0\right) $，$C\left(0,2,0\right) $，$C_1\left(0,2,3\sqrt 2\right) $，$E\left(0,0,2\sqrt 2\right) $，$F\left(\sqrt 3 ,1, \sqrt 2\right) $，所以\[\overrightarrow {C_1 E} = \left( {0,- 2, - \sqrt 2 } \right) , \overrightarrow {C F} = \left( { \sqrt 3,- 1, \sqrt 2 } \right), \]所以\[\overrightarrow {C_1 E} \cdot \overrightarrow {CF} = 0 + 2 - 2 = 0.\]所以 $CF \perp C_1 E$．
  2. 求二面角 $E - CF - {C_1}$ 的大小．
    标注
    答案
    略
    解析
    解法一：
    在 $\triangle CEF$ 中，由（1）可得\[EF = CF = \sqrt 6 ,CE = 2\sqrt 3.\]于是有 ${EF}^2 + {CF} ^2= {CE}^2$，所以 $CF \perp EF$，
    又因为 $CF\perp C_1E$，所以 $CF\perp面 C_1EF$．
    又 ${C_1}F \subset平面 {C_1}EF$，故 $CF \perp {C_1}F$．
    于是 $\angle EF{C_1}$ 即为二面角 $E - CF - {C_1}$ 的平面角．
    由（1）知 $\triangle {C_1}EF$ 是等腰直角三角形，所以 $\angle EF{C_1} = 45^\circ$，
    即所求二面角 $E - CF - {C_1}$ 的大小为 $45^\circ $．
    解法二：
    $\overrightarrow {CE} = \left( {0, - 2,2\sqrt 2 } \right)$，
    设平面 $CEF$ 的一个法向量为 $\overrightarrow m = \left( {x,y,z} \right)$．
    由 $\overrightarrow m \perp \overrightarrow {CE} $，$\overrightarrow m \perp \overrightarrow {CF} $，得\[\begin{cases}
    \overrightarrow m \cdot \overrightarrow {CE} = 0, \\
    \overrightarrow m \cdot \overrightarrow {CF} = 0, \\
    \end{cases}\]即\[\begin{cases}- 2y + 2\sqrt 2 z = 0, \\
    \sqrt 3 x - y + \sqrt 2 z = 0. \\
    \end{cases}\]可取\[\overrightarrow m = \left( {0,\sqrt 2 ,1} \right).\]设侧面 $B{C_1}$ 的一个法向量为 $\overrightarrow n $，由 $\overrightarrow n \perp \overrightarrow {BC} $，$\overrightarrow n \perp \overrightarrow {CC_1} $，及\[\overrightarrow {CB} = \left( {\sqrt 3 , - 1,0} \right),
    \overrightarrow {CC_1} = \left( {0,0,3\sqrt 2 } \right),\]可取\[\overrightarrow n = \left( {1,\sqrt 3 ,0} \right).\]设二面角 $E - CF - C_1$ 的大小为 $\theta $，于是由 $\theta $ 为锐角可得\[\cos \theta = \dfrac{{\left| {\overrightarrow m \cdot \overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow m } \right| \cdot \left| {\overrightarrow n } \right|}} = \dfrac{\sqrt 6 }{\sqrt 3 \times 2} = \dfrac{\sqrt 2 }{2},\]所以 $\theta = 45^\circ $．
    即所求二面角 $E - CF - {C_1}$ 的大小为 $45^\circ $．
题目 问题1 答案1 解析1 备注1 问题2 答案2 解析2 备注2
0.113447s