$\triangle ABC$ 中，$\sin 2A+\sin 2B=4\sin A\sin B$，求 $\triangle ABC$ 的形状．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
直角三角形
【解析】
根据题意有$$4\sin A\sin B=2\sin(A+B)\cos(A-B)\leqslant 2\cos(A-B),$$所以$$\cos(A+B)\geqslant 0.$$所以$$A+B\leqslant \dfrac{\pi}2,$$在此基础上，有$$0<A\leqslant\dfrac{\pi}{2}-B<\dfrac{\pi}2,$$于是$$\sin A\leqslant \cos B,$$同理可得$$\sin B\leqslant \cos A,$$于是由排序不等式知$$\sin A\cos A+\sin B\cos B\geqslant 2\sin A\sin B, $$而由已知条件知左边等于右边，因此取等条件成立，即有$$\left(\sin A=\cos B\right)\land\left(\sin B=\cos A\right),$$因此$$A+B=\dfrac{\pi}{2},$$所以 $\triangle ABC$ 为直角三角形．
答案
解析
备注
