$\triangle ABC$ 中，$A:B:C=4:2:1$，求证：$\dfrac1a+\dfrac1b=\dfrac1c$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由正弦定理可知原题即证$$\dfrac1{\sin A}+\dfrac1{\sin B}=\dfrac1{\sin C},$$又即证$$\sin B\sin C+\sin A\sin C=\sin A\sin B.$$根据题意$$(A,B,C)=\left(\dfrac{4\pi}{7},\dfrac{2\pi}{7},\dfrac{\pi}7\right),$$故上式左边等于$$\sin C\cdot 2\sin\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}=\sin\dfrac{\pi}7\cdot2\sin\dfrac{3\pi}7\cos\dfrac{\pi}{7}=\sin\dfrac{4\pi}{7}\sin\dfrac{2\pi}{7}.$$而右边等于$$\sin A\sin B=\sin\dfrac{4\pi}{7}\sin\dfrac{2\pi}{7}.$$于是$$LHS=RHS.$$证毕．
答案
解析
备注
