题目 已知函数 $f(x)=x-\sin x$，并且数列 $\{a_n\}$ 满足：$0<a_1<1$，当 $n=1,2,3,\cdots$ 时，$a_{n+1}=f(a_n)$．求证： 问题1 $0<a_{n+1}<a_n<1$； 答案1 略 解析1 由于数列 $\{a_n\}$ 的迭代函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上满足 $f(x)\in (0,1)$，$f(x)<x$，且 $f(x)$ 单调递增，于是命题成立． 备注1 问题2 $a_{n+1}<\dfrac16a_n^3$． 答案2 略 解析2 只需要证明\[\forall x\in (0,1),x-\sin x<\dfrac 16x^3,\]也即\[\forall x\in (0,1),\sin x-x+\dfrac 16x^3>0.\]设上述不等式左侧函数为 $\varphi(x)$，则其导函数\[\varphi'(x)=\cos x-1+\dfrac 12x^2,\]其二阶导函数\[\varphi''(x)=-\sin x+x>0,\]因此\[\begin{array} {c|cc}\hline<br/>\varphi''(x)&0&+\\ \hline<br/>\varphi'(x)&0&\nearrow,+\\ \hline<br/>\varphi(x)&0&\nearrow,+\\ \hline\end{array}\]因此原命题得证． 备注2