题目 已知函数 $f(x)=3x+\sqrt{(x-1)(4-x)}$． 问题1 求 $f(x)$ 的最大值和最小值； 答案1 最小值为 $3$，最大值为 $\dfrac{3\sqrt{10}+15}2$ 解析1 根据题意，有\[f(x)=\dfrac{\sqrt{9-(2x-5)^2}+3(2x-5)+15}2,\]由于\[\sqrt{9-(2x-5)^2}+3(2x-5)=(1,3)\cdot \left(\sqrt{9-(2x-5)^2},2x-5\right),\]于是当 $2x-5=-3$ 即 $x=1$ 时函数 $f(x)$ 取得最小值 $3$；当 $2x-5=\dfrac{9}{\sqrt{10}}$ 即 $x=\dfrac 52+\dfrac{9}{\sqrt{10}}$ 时，函数 $f(x)$ 取得最大值 $\dfrac{3\sqrt{10}+15}2$． 备注1 问题2 求 $f(x)$ 的单调区间； 答案2 函数 $f(x)$ 在 $\left(1,\dfrac 52+\dfrac{9}{\sqrt{10}}\right)$ 上单调递增，在 $\left(\dfrac 52+\dfrac{9}{\sqrt{10}},4\right)$ 上单调递减 解析2 函数 $f(x)$ 在 $\left(1,\dfrac 52+\dfrac{9}{\sqrt{10}}\right)$ 上单调递增，在 $\left(\dfrac 52+\dfrac{9}{\sqrt{10}},4\right)$ 上单调递减． 备注2 问题3 在相应的单调区间上，求 $f(x)$ 的反函数． 答案3 区间 $\left(1,\dfrac 52+\dfrac{9}{\sqrt{10}}\right)$ 上对应的反函数为\[f^{-1}(x)=\dfrac 32\sin\left(\arcsin\dfrac{2x-15}{3\sqrt{10}}-\arctan \dfrac 13\right)+\dfrac 52.\]区间 $\left(\dfrac 52+\dfrac{9}{\sqrt{10}},4\right)$ 上对应的反函数为\[f^{-1}(x)=\dfrac 32\sin\left(\arcsin\dfrac{2x-15}{3\sqrt{10}}+\arctan \dfrac 13\right)+\dfrac 52.\] 解析3 令 $2x-5=3\sin\theta$，其中 $\theta\in \left[-\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2\right]$，则\[y=\dfrac{3\sqrt{10}\sin\left(\theta+\arctan \dfrac 13\right)+15}2,\]于是区间 $\left(1,\dfrac 52+\dfrac{9}{\sqrt{10}}\right)$ 上对应的反函数为\[f^{-1}(x)=\dfrac 32\sin\left(\arcsin\dfrac{2x-15}{3\sqrt{10}}-\arctan \dfrac 13\right)+\dfrac 52,\]也即\[f^{-1}(x)=\dfrac{5+6x-\sqrt{-135+60x-4x^2}}{20}.\]区间 $\left(\dfrac 52+\dfrac{9}{\sqrt{10}},4\right)$ 上对应的反函数为\[f^{-1}(x)=\dfrac 32\sin\left(\arcsin\dfrac{2x-15}{3\sqrt{10}}+\arctan \dfrac 13\right)+\dfrac 52,\]也即\[f^{-1}(x)=\dfrac{5+6x+\sqrt{-135+60x-4x^2}}{20}.\] 备注3 事实上，该函数图象是一个 $\dfrac 12$ 椭圆．