是否存在三边长为连续自然数的三角形，使得最大角是最小角的三倍，若存在，求出该三角形，若不存在，说明理由．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
不存在
【解析】
假设存在，设 $\triangle ABC$ 的三个内角 $A,B,C$ 所对的三条边分别为 $a,b,c$，不妨令$$a=b-1=c-2,a,b,c\in N^\ast,$$且有 $C=3A$，则根据正弦定理有$$\dfrac{a+2}{a}=\dfrac{\sin 3A}{\sin A},$$即有$$1+\dfrac a2=3-4\sin^2A,$$于是$$a=\dfrac1{\cos 2A},$$由于$$A<B=\pi-4A<C=3A,$$故$$\dfrac{\pi}7<A<\dfrac{\pi}5,$$记$$f(A)=\dfrac1{\cos 2A},$$则 $f(A)$ 在区间 $\left(\dfrac{\pi}7,\dfrac{\pi}5\right)$ 上单调递增，因此 $a=f(A)$ 的取值范围为$$M=\left(\dfrac1{\cos\frac{2\pi}{7}},\dfrac1{\cos\frac{2\pi}5}\right),$$所以$$M\cap N^\ast=\{2,3\},$$而当 $a=2$ 或 $3$ 时三角形三边长 $(a,b,c)=(2,3,4)$ 或 $(3,4,5)$，经验证两组边长均不满足最大角等于最小角三倍的设定，故不存在符合题意的三角形．
答案
解析
备注
