设 $0<\alpha,\beta<\pi$，且 $\cos\alpha+\cos \beta-\cos(\alpha+\beta)=\dfrac32$，求证：$\alpha=\beta=\dfrac{\pi}{3}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意$$\begin{split} \cos\alpha+\cos \beta-\cos(\alpha+\beta)&=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\left(\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}-\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)+1\\
&\leqslant 2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\left(1-\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)+1\\
&\leqslant \dfrac32, \end{split}$$当且仅当 $\alpha=\beta=\dfrac{\pi}{3}$ 时，上述不等式等号成立，而$$\cos\alpha+\cos \beta-\cos(\alpha+\beta)=\dfrac32,$$因此$$\alpha=\beta=\dfrac{\pi}{3}.$$
&\leqslant 2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\left(1-\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)+1\\
&\leqslant \dfrac32, \end{split}$$当且仅当 $\alpha=\beta=\dfrac{\pi}{3}$ 时，上述不等式等号成立，而$$\cos\alpha+\cos \beta-\cos(\alpha+\beta)=\dfrac32,$$因此$$\alpha=\beta=\dfrac{\pi}{3}.$$
答案
解析
备注
