求证：$\forall x\in \mathbb R,\cos (\sin x)>\sin(\cos x)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
构造函数$$f(x)=\cos (\sin x)-\sin(\cos x),x\in\mathbb R,$$因为 $f(x)$ 是周期为 $2\pi$ 的偶函数，因此，仅需证明$$\forall x\in[0,\pi],f(x)>0.$$情形一 当 $x=0$ 时显然成立．
情形二 当 $0<x<\dfrac{\pi}2$ 时，因为$$\left(0<\sin x<x<\dfrac{\pi}2\right)\land\left(0<\cos x<1\right),$$所以$$\sin(cos x)<\cos x<\cos(\sin x),$$该种情形不等式成立．
情形二 当 $\dfrac{\pi}2\leqslant x\leqslant \pi$ 时有$$\cos (\sin x)>0\geqslant\sin(\cos x),$$即此种情形下不等式亦成立．综上所述，当$$\forall x\in[0,\pi], f(x)>0,$$于是原不等式得证．
答案
解析
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