设 $\alpha,\beta$ 是关于 $x$ 的方程 $a\cos x+b\sin x=c$ 在区间 $(0,\pi)$ 内的两个相异的实根，其中 $a^2+b^2\neq 0$．求证：$\sin (\alpha+\beta)=\dfrac{2ab}{a^2+b^2}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由题设 $t=\tan\dfrac{x}{2}$，则原方程变为$$a\cdot\dfrac{1-t^2}{1+t^2}+b\cdot\dfrac{2t}{1+t^2}=c,$$整理得$$(a+c)t^2-2bt+(c-a)=0,$$记这个关于 $t$ 的方程的两解分别为 $t_1,t_2$，则由韦达定理$$\begin{cases} t_1+t_2=\dfrac{2b}{a+c},\\
t_1t_2=\dfrac{c-a}{a+c},\end{cases}$$进而$$\tan\dfrac{\alpha+\beta}{2}=\dfrac{t_1+t_2}{1-t_1t_2}=\dfrac ba,$$故$$\sin(\alpha+\beta)=\dfrac{2\tan\frac{\alpha+\beta}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha+\beta}{2}}=\dfrac{2ab}{a^2+b^2}.$$证毕．
t_1t_2=\dfrac{c-a}{a+c},\end{cases}$$进而$$\tan\dfrac{\alpha+\beta}{2}=\dfrac{t_1+t_2}{1-t_1t_2}=\dfrac ba,$$故$$\sin(\alpha+\beta)=\dfrac{2\tan\frac{\alpha+\beta}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha+\beta}{2}}=\dfrac{2ab}{a^2+b^2}.$$证毕．
答案
解析
备注
