已知 $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)+\sin\beta=\dfrac14$，$\cos\alpha+\sin\left(\dfrac{\pi}2+\beta\right)=\dfrac13$，求 $\tan(\alpha+\beta)$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{24}{7}$
【解析】
已知条件中的两个不等式即$$\begin{cases} \sin\alpha+\sin\beta=\dfrac14,\\
\cos\alpha+\cos\beta=\dfrac13,\end{cases}$$对以上两式用和差化积公式可得$$\begin{cases} 2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}=\dfrac14,\\
2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}=\dfrac13,\end{cases}$$两式作比$$\tan\dfrac{\alpha+\beta}{2}=\dfrac34,$$于是$$\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{24}{7}.$$
\cos\alpha+\cos\beta=\dfrac13,\end{cases}$$对以上两式用和差化积公式可得$$\begin{cases} 2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}=\dfrac14,\\
2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}=\dfrac13,\end{cases}$$两式作比$$\tan\dfrac{\alpha+\beta}{2}=\dfrac34,$$于是$$\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{24}{7}.$$
答案
解析
备注
