已知 $\dfrac {\sin \alpha+\sin2\alpha+\sin 3\alpha}{\cos \alpha+\cos2\alpha+\cos3\alpha}=-4\cot\alpha$，且 $\pi<2\alpha<\dfrac{3\pi}{2}$，求 $\cos \alpha$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$-\dfrac{\sqrt3}{3}$
【解析】
由于$$\begin{split} &\sin \alpha+\sin3\alpha=2\sin2\alpha\cos\alpha\\
&\cos\alpha+\cos3\alpha=2\cos2\alpha\cos \alpha\end{split}$$将以上两式代入已知等式左边可得则$$-4\cot\alpha=\tan2\alpha,$$即有$$-\dfrac{4}{\tan\alpha}=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha},$$解得$$\tan^2\alpha=2,$$又因$$\dfrac{\pi}{2}<\alpha<\dfrac{3\pi}{4},$$所以$$\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt3}{3}. $$
&\cos\alpha+\cos3\alpha=2\cos2\alpha\cos \alpha\end{split}$$将以上两式代入已知等式左边可得则$$-4\cot\alpha=\tan2\alpha,$$即有$$-\dfrac{4}{\tan\alpha}=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha},$$解得$$\tan^2\alpha=2,$$又因$$\dfrac{\pi}{2}<\alpha<\dfrac{3\pi}{4},$$所以$$\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt3}{3}. $$
答案
解析
备注
