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已知椭圆 $C:x^2+4y^2=8$，直线 $y=-\dfrac 12x$ 与椭圆 $C$ 交于 $A,B$ 两点，$P(x_0,y_0)(-2<x_0<2)$ 为椭圆 $C$ 上的动点．设直线 $PA,PB$ 分别与直线 $y=
\dfrac 12x$ 相交于 $M,N$ 两点，则 \((\qquad)\)
A: 椭圆 $C$ 上满足 $|OQ|^2=|OM|\cdot|ON|$ 的点 $Q$ 恰有 $2$ 个
B: 椭圆 $C$ 上满足 $|OQ|^2=|OM|\cdot|ON|$ 的点 $Q$ 恰有 $4$ 个
C: $y$ 轴上满足的 $\angle OQN=\angle OMQ$ 的点 $Q$ 恰有 $2$ 个
D: $y$ 轴上满足的 $\angle OQN=\angle OMQ$ 的点 $Q$ 恰有 $4$ 个
【难度】
【出处】
2017年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    坐标变换
    >
    坐标系下的伸缩变换
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    直线与圆锥曲线
    >
    极点极线的调和性质
【答案】
BC
【解析】
记 $y=\dfrac 12x$ 与椭圆的交点为 $C,D$，作伸缩变换将椭圆 $E$ 变为圆 $E':x'^2+y'^2=8$，原来图上的点 $A,B,C,D,P,M,N$ 分别对应到点 $A',B',C',D',P',M',N'$，连接 $P'C',P'D'$，如图．由于 $P'M'\perp P'N'$ 且 $P'B'$ 平分 $\angle C'P'D'$，于是 $C',D'$ 调和分割 $M',N'$，进而\[|OM'|\cdot |ON'|=|OC'|^2=|OD'|^2=8.\]考虑到伸缩变换下的弦长变化，可得当 $Q=A,B,C,D$ 时，有对应的\[|OQ|^2=|OM|\cdot |ON|=5.\]而只有当 $Q$ 为 $(0,\sqrt 5)$ 或 $(0,-\sqrt 5)$ 时，有对应的 $\triangle NQO$ 与 $\triangle QMO$ 相似，从而有 $\angle OQN=\angle OMQ$．
题目 答案 解析 备注
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