已知 $\alpha,\beta$ 是锐角，且 $a\sin\alpha+b\cos\beta=\sin\beta$，$a\sin\beta+b\cos\alpha=\sin\alpha$，$\tan\dfrac{\alpha+\beta}{2}=a+1$，求证：$a^2+b=1$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
将已知条件中的两个等式相加有$$b(\cos\beta+\cos\alpha)=(1-a)(\sin\alpha+\sin\beta),$$由和差化积公式可得$$2b\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}=(1-a)\cdot 2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2},$$由于 $\alpha$ 与 $\beta$ 均为锐角，所以 $\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}\neq 0$，上式可变为$$\tan\dfrac{\alpha+\beta}{2}=\dfrac{b}{1-a}=a+1,$$所以$$a^2+b=1.$$
答案
解析
备注
