无

$m(m-2)[(m-2)^{n-1}+(-1)^n],n\in\mathbb N^\ast,n>3$

记该 $n$ 棱锥为 $S-A_1A_2\cdots A_n$，顶点 $S$ 有 $m$ 种染色方法，且 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 均不能与 $S$ 同色，问题转化为用 $m-1$ 种颜色给多边形 $A_1A_2\cdots A_n$ 的顶点染色，相邻的顶点不同色，设有 $a_n$ 种染法，则$$a_3=(m-1)(m-2)(m-3),$$对 $n>3$，下面考虑求出 $\{a_n\}$ 的递推关系．
若从 $A_1$ 开始染色，则 $A_1$ 有 $(m-1)$ 种染法，继而 $A_2,\cdots,A_{n-1}$ 分别均有 $(m-2)$ 种染法．最后对 $A_n$ 染色，如果仅要求 $A_n$ 与 $A_{n-1}$ 异色（不要求 $A_n$ 与 $A_1$ 异色），则仍有 $(m-2)$ 种染法．于是，总共有 $(m-1)(m-2)^{n-1}$ 种染法．
上述 $(m-1)(m-2)^{n-1}$ 种染法可分为以下两类：
第一类 $A_n$ 与 $A_1$ 不同色，这符合题设要求，有 $a_n$ 种染法；
第二类 $A_n$ 与 $A_1$ 同色，这不符合要求，这时可将 $A_n$ 与 $A_1$ 合并成一点，得出 $a_{n-1}$ 种符合题设的染法．
于是综合以上两类分析有$$a_n+a_{n-1}=(m-1)(m-2)^{n-1},n>3. $$即$$a_n-(m-2)^n=-[a_{n-1}-(m-2)^{n-1}],$$于是可求得$$a_n-(m-2)^n=(-1)^n(m-2).$$即$$a_n=(m-2)[(m-2)^{n-1}+(-1)^n],n\in\mathbb N^\ast,n>3.$$从而，整个棱锥的染法总数为$$N=m(m-2)[(m-2)^{n-1}+(-1)^n],n\in\mathbb N^\ast,n>3.$$