过点 $P(2,1)$ 作直线 $l$ 分别交 $x,y$ 正半轴于 $A,B$ 两点．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求 $|PA|\cdot |PB|$ 取得最小值时直线 $l$ 的方程．标注答案$x+y-3=0$解析设 $A(a,0)$，$B(0,b)$，设 $l$ 的方程为$$\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1,$$由于 $l$ 过点 $P$，所以$$\dfrac{2}{a}+\dfrac1b=1.$$又$$\begin{split} &\overrightarrow{PA}=(a-2,-1)\\
&\overrightarrow{PB}=(-2,b-1)\end{split}$$于是$$\begin{split} |\overrightarrow{PA}|\cdot |\overrightarrow{PB}|&=-\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}\\
&=2a+b-5\\
&=(2a+b)\left(\dfrac2a+\dfrac1b\right)-5\\
&\geqslant 4.\end{split}$$此时 $a=b=\dfrac13$，直线 $l$ 的方程为$$x+y-3=0.$$ -
求 $|OA|\cdot|OB|$ 取得最小值时直线 $l$ 的方程．标注答案$x+2y-4=0$解析设直线 $l$ 的方程为$$\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1,a,b>0.$$因为 $P$ 点在直线 $l$ 上，因此$$\dfrac2{a}+\dfrac1b=1,$$所以$$ab=2b+a\geqslant 2\sqrt{2ab},$$解得 $ab\geqslant 8$，所以当 $(a,b)=(4,2)$ 时，$ab$ 也即 $|OA|\cdot|OB|$ 取得最小值 $8$，此时直线方程为$$x+2y-4=0.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
