已知函数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,a\neq 0$，若对任意 $x\in [-1,1]$，$|f(x)|\leqslant 1$ 恒成立，求 $|a|+|b|+|c|+|d|$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$7$
【解析】
根据题意有$$\begin{cases} f(1)=a+b+c+d,\\
f(-1)=-a+b-c+d,\\
f(\dfrac12)=\dfrac18a+\dfrac14b+\dfrac12c+d,\\
f(-\dfrac12)=-\dfrac18+\dfrac14b-\dfrac12c+d,\end{cases}$$又$$ |a|+|b|=\max\{|a+b|,|a-c|\},$$而$$\begin{cases} |a+b|=\left|\dfrac43f\left(\dfrac12\right)-2f\left(\dfrac12\right)+\dfrac23f\left(-\dfrac12\right)\right|\leqslant 4,\\
|a-b|=\left|-\dfrac43f\left(1\right)-\dfrac23f\left(\dfrac12\right)+2f\left(-\dfrac12\right)\right|\leqslant 4, \end{cases}$$所以$$|a|+|b|\leqslant 4.$$同理可得$$|c|+|d|\leqslant 3.$$因此$$|a|+|b|+|c|+|d|\leqslant 7.$$当函数取 $f(x)=4x^3-3x$ 时上式取得等号，所以 $|a|+|b|+|c|+|d|$ 的最大值为 $7$．
f(-1)=-a+b-c+d,\\
f(\dfrac12)=\dfrac18a+\dfrac14b+\dfrac12c+d,\\
f(-\dfrac12)=-\dfrac18+\dfrac14b-\dfrac12c+d,\end{cases}$$又$$ |a|+|b|=\max\{|a+b|,|a-c|\},$$而$$\begin{cases} |a+b|=\left|\dfrac43f\left(\dfrac12\right)-2f\left(\dfrac12\right)+\dfrac23f\left(-\dfrac12\right)\right|\leqslant 4,\\
|a-b|=\left|-\dfrac43f\left(1\right)-\dfrac23f\left(\dfrac12\right)+2f\left(-\dfrac12\right)\right|\leqslant 4, \end{cases}$$所以$$|a|+|b|\leqslant 4.$$同理可得$$|c|+|d|\leqslant 3.$$因此$$|a|+|b|+|c|+|d|\leqslant 7.$$当函数取 $f(x)=4x^3-3x$ 时上式取得等号，所以 $|a|+|b|+|c|+|d|$ 的最大值为 $7$．
答案
解析
备注
