题目 记 $F(x,y)=x+y-a(x+2\sqrt{2xy}),x,y\in\mathbb R^+$． 问题1 是否存在 $x_0\in \mathbb R^+$，使得 $F(x_0,2)=2$？请说明理由； 答案1 不存在 解析1 根据题意有$$F(x_0,2)-2=x_0-a(x_0+4\sqrt{x_0})=\sqrt{x_0}[(1-a)\sqrt{x_0}-4a] $$因为 $x_0\in \mathbb R^+$，所以$$(1-a)\sqrt{x_0}=4a,$$当 $0<a<1$ 时，存在 $x_0=\dfrac{16a^2}{(a-1)^2}$ 满足条件；当 $a\leqslant 0$ 或 $a\geqslant 1$ 时，不存在符题设的 $x_0$． 备注1 问题2 若对任意的 $x,y\in \mathbb R^+$，恒有 $F(x,y)\geqslant 0$，请求出 $a$ 的取值范围． 答案2 $a\leqslant \dfrac12$ 解析2 由于 $F(x,y)\geqslant 0$，所以$$\forall x,y\in\mathbb R^+,\dfrac{x+y}{x+2\sqrt{2xy}}\geqslant a,$$即只需 $a$ 小于等于左侧表达式的最小值即可，而$$\dfrac{x+y}{x+2\sqrt{2xy}}\geqslant \dfrac{x+y}{x+(x+2y)}=\dfrac12,$$当 $x=2y$ 时，上式取得等号．因此 $a$ 的取值范围为 $\left(-\infty,\dfrac12\right]$． 备注2